数列求和专题(必考必练-方法全面-有答案).doc

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数列求和专题

一.公式法（已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和）

二.分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例1：求数列，…的前项和．-

．

例2：求数列5，55，555，…，55…5的前n项和Sn

解：因为55…5=

n所以Sn=5+55+555+…+55…5

n

===

练习：、求数列的前n项和。解：

三．错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例：求和：………（）

解：当x=1时，

当x≠1时，……………….①

①式两边同乘以x得………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

练习：

1：求数列前n项的和.

2.已知数列

四．裂项相消法

常见的拆项公式有：，，

，等.

例1：求数列，，，…，，…的前n项和S.

解：∵=）

Sn===

例2：设,

（1）若

（2）若

解：（1）是公差为9的等差数列，

（2）

练习：

1、求数列，，，，…的前项和.

2、求数列的前n项和.

五．倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

例1：求的值

解：设………….①

将①式右边反序得

…………..②（反序）

又因为

①+②得（反序相加）

＝89

∴S＝44.5

例2：求的和．

解：设

则．

两式相加，得．

练习：设，求：⑴；

⑵

【解题思路】观察及的特点，发现

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例6：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）

＝0

练习：已知：.求.（）

把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和

把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和

把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和

倒序相加法

裂项相消法

错位相减法

分组求和法

主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式

公式法

数列求和的一般方法（五种）

若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子

设数列的等比数列，数列是等差数列，求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和