高考数学科学复习创新方案提升版 第18讲 导数与函数的极值、最值Word版.doc

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第18讲导数与函数的极值、最值

[课程标准]1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．

1．导数与函数的极值

条件

f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)eq\x(\s\up1(01))0，右侧f′(x)eq\x(\s\up1(02))0

x0附近的左侧f′(x)eq\x(\s\up1(03))0，右侧f′(x)eq\x(\s\up1(04))0

图象

极值

f(x0)为极eq\x(\s\up1(05))大值

f(x0)为极eq\x(\s\up1(06))小值

极值点

x0为极eq\x(\s\up1(07))大值点

x0为极eq\x(\s\up1(08))小值点

2.导数与函数的最值

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条eq\x(\s\up1(09))连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)上的eq\x(\s\up1(10))极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与eq\x(\s\up1(11))端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中eq\x(\s\up1(12))最大的一个是最大值，eq\x(\s\up1(13))最小的一个是最小值．

1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．

3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

1．(2023·衡水模拟)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是()

①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.

A．①② B．②③

C．③④ D．①③

答案B

解析①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点．②y′＝2x，当x0时，函数单调递增；当x0时，函数单调递减，且y′|x＝0＝0，②符合．③结合该函数图象可知函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合．④y＝2x在R上单调递增，无极值点．故选B.

2．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()

A．1－e B．－1

C．－e D．0

答案B

解析因为f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，当x∈(0，1)时，f′(x)0；当x∈(1，e]时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B.

3.(多选)(人教A选择性必修第二册习题5.3T4改编)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()

A．函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))上单调递增

B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值

C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增

D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值

答案BC

解析对于A，函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))上有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．

4．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．

答案4

解析f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)0，当x∈(2，3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

5．(人教B选择性必修第三册6.2.2练习AT3改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________．

答案－e2

解析∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意．

多角度探究突破

考向一导数与函数的极值

角度知图判断函数极值情况

例1(2024·重庆渝中区月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，