向量线性组合代课件四章.pptxVIP

1§1向量组的线性组合上页下页返回定义1:n个有次序的数所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.称为n维列向量也称为列矩阵;称为m维行向量或行矩阵;

2若干个同维数的列(行)向量所组成的集合,称为向量组;例如:一个矩阵的全体列向量是一个含有n个m维列向量的向量组.其中上页下页返回

3又或此矩阵的全体行向量是一个含m个n维行向量的向量组.其中含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.而含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵.如m个n维列向量所成的向量组构成一个矩阵.上页下页返回

4引例:求解齐次线性方程组由于方程组的系数行列式解:因此此方程组不能用克拉默法则求解.容易看出，即第3个方程可以经前两个方程线性运算得到，所以第3个方程是多余的.上页下页返回

5如果将方程组每个方程的系数用一个行矩阵来表示,那么以上方程左边的系数就对应三个3维行向量则三个方程间的关系可归结为三个向量之间的关系.即即经线性运算得到,这时,我们称可由的线性组合，是或说可由线性表示.上页下页返回

6定义2:(1)设向量组对于任何一组表达式称为向量组A的一个线性组合.称为这个线性组合的系数.定义3:设向量组和向量b,如果存则说向量这时称向量b能由向量组A线性表示.使在一组数是向量组A的线性组合,数上页下页返回

7定理1:向量b能由向量组表示的充分必要条件是矩阵线性的秩等于矩阵的秩.定义4:设有两个向量组若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.上页下页返回

8从而有矩阵称为线性表示的系数矩阵.向量组B能由向量组A线性表示,即对每个向量存在一组数使上页下页返回

9若则矩阵C的列向量组可表示为则矩阵C的行向量组可表示为上页下页返回B为系数矩阵A为系数矩阵

10定理2:向量组向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件的秩等于矩阵的秩,即是矩阵推论向量组与向量组等价的充分必要条件上页下页返回

11(1)若矩阵A与B行等价,则矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价;矩阵B的列向量组等价.(2)若矩阵A与B列等价,则矩阵A的列向量组与(3)向量组B能由向量组A线性表示,注存在矩阵K,使得也就是矩阵方程有解.上页下页返回

12例1:设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,并求出表示式.解上页下页返回

13可见因此向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,由最简形矩阵,可得方程的通解为故其中k是不为零的任意常数.上页下页返回

14例2设证明向量组与向量组等价.证设上页下页返回

15于是得从上面的结果可知矩阵B中有不为零的二阶子式,故由上一章的定理5的结论知所以有因此即两向量组等价.上页下页返回

16定理3:向量组向量组B能由向量组A线性表示,则有例3n阶单位矩阵的列向量叫做n维单位向量.证明n维单位向量能由n维向量组线性表示的充分必要条件是矩阵满足证因为所以上页下页返回

17§2向量组的线性相关性定义1:设有向量组如果存在一组不全为零的数使则称向量组A是线性相关,否则称它线性无关.非零向量是线性无关的.(1)一个零向量是线性相关的;任意一个(2)两个向量线性相关的充要条件是它们的各对应分量成比例.注:上页下页返回

18(4)由定义4，我们考察一组向量是线性相关还是无关,就是看使(2)成立的一组数,是不全为0还是(3)所谓线性无关，就是如果只有当时(2)式才能成立，则称向量组线性无关;反之:如果向量组线性无关时(2)成立，则必有为未知量的齐次方程组有否非零解.全为0,即以上页下页返回

19上页下页返回例1向量组由对应分量相等，有解此方程组，得∴向量组线性无关.

20上页下页返回例2:讨论向量组的线性相关性.解:即比较两边对应分量，得

21由第一式得代入后两个方程，得可取任意数.任取则有故有一组不全为0的数1,1,－1,使上页下页返回

22引理1:向量组(当m≥2时)线性相关的充分必要条件是:向量可由其余m-1个向量线性表示.中至少有一个证:充分性:设中有一个向量(不妨设)能由其余向量线性表示，即有移项，故有这m个数不全为0,而线性相关.故上页下页返回

23必要性:即有一组不全为0的数使线性相关,设成