专题31 空间几何体的结构特征、表面积与体积6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）.docx

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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专题31空间几何体的结构特征、表面积与体积6题型分类

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

2.直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

4．柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体

S表＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体

S表＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体

S表＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S表＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

常用结论

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．

2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq\r(2)S直观图．

（一）

1.空间几何体结构特征的判断技巧

(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．

(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．

2.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．

3.最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．

题型1：基本立体图形结构特征

1-1．（2024·新疆·模拟预测）下列命题中正确的是（????）

A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.

B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.

【答案】D

【分析】根据空间几何体的定义判断．

【详解】如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；

正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B错；

如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C错；

根据圆锥的定义，D正确．

故选：D．

1-2．（2024高一·全国·课后作业）下列命题：

①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；

②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；

③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正确命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】①②③④均可举出反例.

【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，

显然不是棱柱，故①错误；

②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；

③如图3，四边形为矩形，

即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．

故选：A

1-3．（2024高一下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（????）

A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体

C．平行六面体不是棱柱D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台

【答案】A

【分析】对A，根据直观图的定义判断；对B，直四棱柱可能底面不是矩形，结合长方体定义即可判断；对C，结合棱柱定义，平行六面体是四棱柱，即可判断；对D，结合棱台侧棱延长后需要交于一点，即可判断

【详解】对A，根据直观图的定义，三角形的直观图是三角形，故A对；

对B，底面是长方形的直四棱柱是长方体，故B错；

对C，平行六面体一定是棱柱，故C