第03讲 3.3抛物线(8大核心考点）（解析版）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第03讲3.3抛物线

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：重点考查抛物线定义理解 1

题型二：重点考查利用抛物线定义求轨迹方程 4

题型三：重点考查抛物线上点到定点距离及最值 6

题型四：重点考查抛物线上点到焦点的距离和差最值 9

题型五：重点考查抛物线焦半径公式 13

题型六：重点考查求抛物线标准方程 16

题型七：重点考查抛物线范围 18

题型八：重点考查抛物线对称性 24

题型一：重点考查抛物线定义理解

典型例题

例题1．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用抛物线的定义即可求解.

【详解】因为点到直线的距离为，

所以点到抛物线准线的距离为，

由抛物线的定义得，.

故选：D.

例题2．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】AC

【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案.

【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标，

因为，由抛物线定义得，解得或，

故选：.

例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为.

【答案】8

【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.

【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，

当垂直于抛物线的准线时，最小，

此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，

半径为，所以的最小值为.

故答案为：8.

精练核心考点

1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解.

【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则，

由题可知，的周长为，又，

如图，，当三点共线时，

的周长最小，且最小值为.

故选：C.

2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标．

【答案】

【分析】根据抛物线定义及距离关系式可得，即求出点的纵坐标.

【详解】因为曲线的方程为，即，

所以由题意及抛物线的对称性知，点在抛物线上，且在轴的下方，

点为此抛物线的焦点．

由抛物线的定义可知，可得，

解得或（舍去），

所以点的横坐标为，代入抛物线得，所以

故答案为：

3．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为.

【答案】2

【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可．

【详解】设，则点到直线的距离为

,

当，即当时，

抛物线上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为.

故答案为：2．

题型二：重点考查利用抛物线定义求轨迹方程

典型例题

例题1．（23-24高二下·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解.

【详解】根据题意，设点，且点在的下方，

故点到直线的距离和到点的距离相等，

所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，

所以的轨迹方程为，

故选：D.

例题2．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为.

【答案】

【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.

【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1，

所以点P到点的距离等于它到直线的距离，

由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

即抛物线的焦点在轴正半轴，，即，

所以点P的轨迹方程为.

故答案为：

例题3．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为.

【答案】或

【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案.

【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，

当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，

设抛物线方程为，则，即，所以；

当时，满足条件.

综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，.

故答案为：或

精练核心考点

1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B