第01讲 空间向量及其运算（1.1 空间向量及其运算+1.2 空间向量基本定理 +1.3 空间向量及其坐标运算）（8大核心考点）(解析版）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第01讲空间向量及其运算

(1.1空间向量及其运算

+1.2空间向量基本定理

+1.3空间向量及其坐标运算）

目录

TOC\o1-1\h\u第01讲空间向量及其运算 1

题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 1

题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 5

题型三：重点考查用基底表示向量 7

题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 10

题型五：重点考查空间向量模 12

题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 14

题型七：重点考查空间向量夹角 18

题型八：重点考查投影向量 22

题型一：重点考查空间向量共线（三点共线）

典型例题

例题1．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（????）

A．-8 B．-4 C．-2 D．8

【答案】A

【分析】利用空间向量共线定理求解即可.

【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得

又，，，

所以

则

则解得：

故选：A.

例题2．（23-24高二上·湖北孝感·期末）如果空间中三点共线，则.

【答案】

【分析】由三点共线，则有与共线，列出等式求出即可求解.

【详解】因为，所以，

由三点共线，则有与共线，所以，解得.

故答案为：.

例题3．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.

（1）用表示.

（2）求证：E，F，B三点共线.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由已知得，由此可得答案；

（2）由已知得，由此可得证.

【详解】解：（1）因为，，

所以，

所以；

（2）

，

又与相交于B，所以E，F，B三点共线.

精练核心考点

1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（????）

A． B． C．10 D．13

【答案】B

【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案.

【详解】因为，且三点共线，

所以存在实数，使得，

解得．

故选：B.

2．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.

【答案】证明见解析

【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线.

【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，

??

，

因为G为的重心，所以，

所以，

所以，即三点共线.

3．（23-24高二·甘肃武威·课后作业）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点，N是BD中点，判断与是否共线？

【答案】共线

【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知与共线.

【详解】∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点．

∴＝.

∴与共线．

【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

题型二：重点考查空间向量共面（四点共面）

典型例题

例题1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A选项，根据得到三向量不共面；BCD选项，设为未知数，得到方程组，方程无解则不共面，方程有解则共面，得到答案.

【详解】A选项，因为，故不共面，A错误；

B选项，设，

故，无解，故不共面，B正确；

C选项，设，

则，解得，故共面，C错误；

D选项，，

则，解得，故共面，D错误.

故选：B

例题2．（23-24高二上·江西上饶·期末）若向量，，共面，则．

【答案】2

【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得.

【详解】由，，得不共线，

由共面，得，即，

则，解得，

例题3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解.

【详解】因为，

所以点与，，共面等价于，即.

故选：A.

精练核心考点

1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，若三向量共面，则实数等于（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，解出即可.

【详解】因为三向量共面，设，

所以，即，解得，

故选：C.

2．（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理得到关于的方程，解之即可.

【详解】因