4.4对数函数14题型分类（讲+练）（解析版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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4.4对数函数14题型分类

一、对数函数

一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

对数函数的特征

(1)logax的系数是1；

(2)logax的底数是不等于1的正数；

(3)logax的真数仅含自变量x.

二、对数函数的图象和性质

定义

y＝logax(a0，且a≠1)

底数

a1

0a1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

单调性

增函数

减函数

共点性

图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值

x∈(0,1)时，

y∈(－∞，0)；

x∈[1，＋∞)时，

y∈[0，＋∞)

x∈(0,1)时，

y∈(0，＋∞)；

x∈[1，＋∞)时，

y∈(－∞，0]

对称性

函数y＝logax与y＝logeq\f(1,a)x的图象关于x轴对称

趋势

在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴

在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴

三、反函数的概念

对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域.

四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点

(1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)：

(2)图象的特点：函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a0，且a≠1)的图象与y＝logeq\f(1,a)x(a0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．

（一）

对数函数的概念

判断一个函数是对数函数的方法

题型1：对数函数的概念

1-1．（2024高一上·江苏·课前预习）在中，实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解.

【详解】要使式子有意义，

则，解得或.故A，C，D错误.

故选：B.

1-2．（2024高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点，则．

【答案】

【分析】首先求解对数函数，再代入求值.

【详解】设对数函数（a0，且），因为函数图象过点，

所以，得，

所以.

故答案为：

1-3．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可.

【详解】由题可知：函数为对数函数

所以或，又且

所以

故选：B

1-4．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（????）

A．1或2 B．1

C．2 D．且

【答案】C

【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.

【详解】∵函数是对数函数，

∴，且，

解得或，∴，

故选：C．

（二）

对数型函数的定义域

（1）求对数型函数定义域的原则

①分母不能为0.

②根指数为偶数时，被开方数非负．

③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．

(2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下:

①分母不为0;

②偶次方根下非负;

③中x≠0;

④对数的真数大于0;

⑤对数、指数的底a满足a0且a≠1.

(3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.

题型2：对数型函数的定义域

2-1．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为.

【答案】

【分析】根据对数函数定义域解不等式即可求得结果.

【详解】由函数解析式可得，解得；

所以函数定义域为.

故答案为：

2-2．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为（）

A． B．

C． D．2,+∞

【答案】A

【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.

【详解】由题意得：，解得，

定义域为.

故选：A.

2-3．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.

【答案】

【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.

【详解】已知函数的定义域为，

所以，，

所以函数的定义域为，

又，且，解得，且，

所以定义域为.

故答案为：.

2-4．（2024高二下·重庆·期末）已知函数，则的定义域为．

【答案】

【分析】根据根式和对数式的限制