3.1.2函数的表示法12题型分类(讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

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3.1.2函数的表示法12题型分类

一、函数的表示法

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

二、描点法作函数图象的三个步骤

(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．

(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．

(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．

三、函数三种表示法的几点说明

(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去．

(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．

四、分段函数的概念

如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数.

五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤

(1)阅读材料、理解题意；

(2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型；

(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论；

(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．

六、分段函数的特点

(1)分段函数是一个函数，并非几个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集．

(3)分段函数的值域是各段值域的并集．

(4)分段函数的图象要分段来画．

七、应用函数知识解决实际问题

关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用．

（一）

函数表示法

函数的三种表示法的选择和应用的注意点

解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．

题型1：函数的表示法

1-1．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，分别由下表给出，

x

0

1

2

1

2

1

x

0

1

2

2

1

0

则；满足的x的值是．

1-2．（2024高一·全国·课后作业）已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8．

（1）写出关于的解析式；

（2）用列表法表示此函数；

（3）画出此函数的图象．

1-3．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A．

B．

C．

D．

1-4．（2024高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（）

A．?? B．??

C．?? D．??

（二）

函数图象的作法及应用

1、画函数图象的两种常用方法

(1)描点法

一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；

②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；

③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．

(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．

2、画函数图象的关注点

①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；

②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；

③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．

题型2：函数图象的作法及应用

2-1．（2024高三·全国·对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：

??

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6).

2-2．（2024·全国）画出函数的图象．

2-3．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）直线与二次函数交点个数为（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能

2-4．（2024高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象：

(1)且；

(2)．

2-5．（2024高二下·上海杨浦·阶段练习）设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（????）．

A． B．

C．