2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类（讲+练）（解析版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类

一、一元二次不等式

1．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

二、二次函数图象、方程及不等式的关系

设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

解不等式y＞0或y＜0的步骤

求方程y＝0的解

有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有

实数根

画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象

得等的集不式解

y＞0

{x|x＜x1_或x＞x2}

{x|x1＜x＜x2}

R

y＜0

{x|x1＜x＜x2}

?

?

三、常用数集及表示符号

1.不等式x2－y20是一元二次不等式吗？

此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x21的解集及其含义是什么？

不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．

3.若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？

结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R.

四、不等式解法

1．分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

类型

同解不等式

eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)

(其中a，b，c，d为常数)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0(＜0),cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0(＞0),cx＋d＜0))

法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)

eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0(≤0),ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0(≥0),cx＋d＜0))

法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(（ax＋b）（cx＋d）≥0（≤0）,cx＋d≠0))

eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k,≥k,≤k))(其中k为非零实数)

先移项通分转化为上述两种形式

2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件

不等式

ax2＋bx＋c0

ax2＋bx＋c0

a＝0

b＝0，c0

b＝0，c0

a≠0

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0,Δ0))

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0,Δ0))

(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数

y＝ax2＋bx＋c

若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k

若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k

（一）

一元二次不等式的解法

1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.

2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.

（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.

3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.

(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系.

(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.

题型1：解不含参数的一元二次不等式

1-1．（2024高一下·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式：

(1)；

(2).

【答案】(