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数学开放题及其教学

一、数学开放题的含义和分类

（一）开放题的含义

数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。弄清它的含义，能使我

们更好地理解和研究开放题。数学开放题是相对传统的封闭题而言的。先请看下面两个简单

数学问题：

问题１：数列２，４，８,,成等比数列，求公比。

问题２：试写出公比为２的一个等比数列。

明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，

我们称它为开放题。一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个

问题为数学开放题。

由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。且开放题和封闭题具有相对性。

并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能

力也有直接的关系。

二、开放题的分类：

为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。可以选择不同的标准，进行不同的分类。

本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类：

1、条件性开放题

如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。这类开放题中往往

给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。

2、策略性开放题

如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。这类开放题一般都

给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略

未知。

3、结论性开放题：

如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论开放题。结论性开放题就是给

出一定的条件，满足条件的结论不止一个。

4、综合性开放题

如果一个开放题只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定

和寻找，这类问题称为综合性开放题。

把数学开放题分为以上四类，应该说并非严格意义上的逻辑分类。并且对同一个开放题，可

能它不仅仅是一个结论性开放题，而且又有多种解题策略。研究开放题的分类是为了“称呼”

的方便，以便更好地研究它的教育价值。

二、数学开放题的教育价值

研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行

教育，充分发挥开放题的教育价值。笔者认为开放题具有以下教育价值：

1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围

教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。教学活动能否顺利进行的前提

条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。如果离开学生的主动参与，整个教学

过程难以畅通。由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生

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与学生之间实现交流，为学生表达自己的观点和解题策略提供了很多的“参与时机”。又由

于开放题的层次性，为全体学生，特别是中、下学生提供了很大的“参与空间”。又由于开

放题的探索性，为学生提供了较好的“参与深度”。使得每个学生都认为自己解决了这个问

题，找到了答案。正因为如此，学生不再是一个依赖教师的模仿者，这种新颖的师生关系

给学生提供了一个民主平等的教学氛围，这种氛围有利于充分调动和发挥学生的非智力因

素，激活学生学习的内驱力，并且促进了教师与学生，学生与学生之间相互理解，学会换

位思考，使教和学相得益彰。

2、开放题的教学有利于学生体验成功