线代课件一章节.pptxVIP

1§6行列式按行(列)展开对于三阶行列式，容易验证:n阶行列式能否用若干个n-1阶行列式表示呢？即:一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示.上页下页返回

2定义1:在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式,叫做元素的余子式.记作称为元素的代数余子式.例如:上页下页返回

3行列式的每个元素都分别对应着一个余子式注:上页下页返回和一个代数余子式.

4引理:一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素数余子式的乘积，即除外都为0，那末此行列式等于与它的代证:(1)假定行列式D的第一行除外都是0.(为第一行元素的列标）上页下页返回

5故从而(2)假定行列式D的第外都是0.i行除把D转化为(1)的情形上页下页返回

6把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行,…,第1行对调;再把第j列依次与第j-1列，第j-2列,次交换行与交换列的步骤,就调到左上角,则…，第1列对调，这样共经过证毕．上页下页返回

7行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1:且即关于列也可有相应的结果上页下页返回

8证:1.当时的情形.上页下页返回

9时的情形.2.当不妨设i＜j,两个行列式都按第j行展开，并利用已证结果,得上页下页返回将第i行加到第j行上

10再移项化简，得即定理1也可表示为证毕.上页下页返回

11(2)定理1表明:行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;行列式任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为0.注:(1)定理1称为行列式按行(列)展开法则，用这个法则可以起到降阶作用.(3)在计算数字行列式时，直接应用行列式展开法则并不一定简化计算，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开法则才有意义.上页下页返回

12例1:计算行列式解:按第2列展开按第1列展开上页下页返回

13例2:证明证:按第n行展开，得上页下页返回

14继续上述方法逐步递推下去，并注意上页下页返回

15例3:证明范德蒙德(Vander-monde)行列式证:用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.上页下页返回

16(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，要证n阶也成立.上页下页返回

17n-1阶范德蒙德行列式证毕.注:中至少有两数相等.上页下页返回

18例4:计算n阶行列式解:上页下页返回

19上页下页返回

20例5:计算行列式解:此行列式称为爪型行列式上页下页返回

21例6:计算行列式解:爪形行列式上页下页返回

22上页下页返回

23例6:计算行列式解:(1)若b=c,则每行元素之和相等.上页下页返回

24(2)若b≠c,则上页下页返回

25按第1列展开上页下页返回

26同理,对有上页下页返回