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2011.2.6北京工商大学9-6-1第六节微分法在几何上的应用空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线小结思考题作业第九章多元函数微分法及其应用
2011.2.6北京工商大学9-6-2一、空间曲线的切线与法平面1.空间曲线的方程为参数方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数在可导.微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-3考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线MM’的方程为切线的过程微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-4曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.微分法在几何上的应用))(),(),((000tztytxT￠￠￠=r
2011.2.6北京工商大学9-6-52.空间曲线为两个柱面的交线的方程设曲线直角坐标方程为法平面方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为x为参数,微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-6解切线方程法平面方程例即微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-7例在抛物柱面y=6x2与z=12x2的交线上,求对应x为参数,于是解所以交线上与x=1/2对应点的切向量为:交线的参数方程为取微分法在几何上的应用切线方程的点x=1/2处的切向量.
2011.2.6北京工商大学9-6-83.空间曲线为两个曲面的交线方程微分法在几何上的应用设空间曲线方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对表示.)x求全导数:
2011.2.6北京工商大学9-6-9利用2.的结果,两边分别对x求全导数微分法在几何上的应用=xzdd
2011.2.6北京工商大学9-6-10法平面方程切线方程在点M(x0,y0,z0)处的微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-11解例切线方程和法平面方程.法一直接用公式;令微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-12法平面方程切线方程微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-13切线方程法二将所给方程的两边对x求导切线方程和法平面方程.法平面方程微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-14设曲线练习证因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有微分法在几何上的应用在法平面上,任取曲线上一点
2011.2.6北京工商大学9-6-15二、曲面的切平面与法线1.设曲面Σ的方程为F(x,y,z)=0的情形今在曲面Σ上任取一条过点隐式方程微分法在几何上的应用函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数t=to,且不全为零.M的曲线Γ,设其参数方程为
2011.2.6北京工商大学9-6-16微分法在几何上的应用由于曲线Γ在曲面Σ上,所以在恒等式两端对t求全导数,并令t=to,则得记向量曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成即向量垂直.※
2011.2.6北京工商大学9-6-17因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的微分法在几何上的应用过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的
2011.2.6北京工商大学9-6-18曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:微分法在几何上的应用切平面方程法线方程所以曲面Σ上在点M的
2011.2.6北京工商大学9-6-19解令切平面方程法线方程例∥切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量:微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-20上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.解设所求点为则切平面的法向量为∥练习由题意,∥由此得所求之点:微分法在几何上的应用
2011.2.6北京工商大学9-6-21曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或微分法在几何上的应用2.曲面方程为z=f(x,y)的情形显式方程
2011.2.6北京工商大学9-6-22证则法向量为切平面方程为微分法在几何上的应用证明曲面z=xey/x上所有点处的切平面均过一定点.所以这些平面都过原点.
2011.2.6北京工商大学9-6-23证明曲面z=ax+f(by+cz),(f(u)可微,a≠0,b,c均为常证常数),的所有切平面都
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