第08讲 二次函数与幂函数（解析版）.docxVIP

第08讲二次函数与幂函数

一、二次函数

1．二次函数的概念

形如的函数叫做二次函数.

2．表示形式

(1)一般式：.

(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.

3．二次函数的图象与性质

函数解析式

图象(抛物线)

定义域

R

值域

对称性

函数图象关于直线对称

顶点坐标

奇偶性

当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在上是减函数；

在上是增函数.

在上是增函数；

在上是减函数.

最值

当时，

当时，

4．常用结论

(1)函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.

(2)若为的实根，则在轴上截得的线段长应为.

(3)当且()时，恒有()；当且()时，恒有().

二、幂函数

1．幂函数的概念

一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.

2．几个常见幂函数的图象与性质

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减；在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

过定点

过定点

过定点

3．常用结论

(1)幂函数在上都有定义.

(2)幂函数的图象均过定点.

(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.

(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.

(5)幂函数在第四象限无图象.

考点一幂函数的解析式

1．（宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点，则解析式为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设所求幂函数解析式为，由已知条件可得，可得，

因此，所求幂函数的解析式为.

故选：C.

2．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：设，则，得，

所以，

所以，

故选：D

3．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【详解】

解：因为为幂函数，所以，所以，

因为幂函数的图像过点，

所以，解得，

所以，

故选：A

4．（全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.

故选：C.

5．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意得：，得或

当时，图象关于y轴对称，不成立；

当时，是奇函数，成立；

所以不等式转化为，即，解得.

故选：D

6．（浙江高二期中）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（）

A．或3 B．3 C． D．0

【答案】B

【详解】

解：因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，

故选：B

7．（湖南长郡中学）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（）

A． B．2 C．4 D．

【答案】D

【详解】

设幂函数，幂函数的图象经过点

所以，解得

所以，则

故选：D

8．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（）

A．3 B．9 C．27 D．

【答案】C

【详解】

幂函数的图象过点，

可得，解得，

幂函数的解析式为：，

可得（3）．

故选：．

9．（全国高一专题练习）函数是幂函数，则的值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为函数是幂函数，

所以，解得

故选：D

10．（全国高一专题练习）如果幂函数的图象经过点，那么的值是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

将点代入可得，即，可得：，

解得：，

故选：D

考点二二次函数的解析式

1．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数，的值域为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：函数的对称轴为，

则在上单调递增，在上单调递减，

，，

即的值域为.

故选：A.

2．（昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数在闭区间上的最大值是（）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】D

【详解】

的对称轴为，开口向上，

所以在单调递减，在单调递增，

当时，，

当时，，

所以函数在闭区间上的最大值是，

故选：D.

3．（江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）已知函数有最大值，则的值为（）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】

，

若，则，故；

若，则，解得，舍去.

若，则，

综上，或，

故选：D.

4．（全国高二课时练习）函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（）

A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）

C．f（1），f（5） D．f