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一题多解圆锥曲线离心率

典型例题

【例1】设椭圆的左焦点为，直线：与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率的取值范围是

【解析】

【解法1】如图，设右焦点为，易知四边形是矩形，令，，所以，，，，所以.

因为，所以，.所以，所以.

【评注】利用椭圆定义以及椭圆的对称性得到离心率的表达式，再由三角函数的有界性求解.

【评注】先由直角三角形的性质求出点的坐标，代入椭圆方程得到与之间的关系，利用余弦函数的有界性得到关于的不等式.

【解法2】如图，易得，，则有，所以.又因为点在椭圆上，所以，整理得，因为，所以，

所以，且，化简后解得，又因为，所以.

【解法3】以为直径的圆的方程为，所以，，所以，因为，所以，所以，又因为，且，所以上式整理后解得.

又因为点在椭圆上，所以，整理得，因为，所以，所以，且，化简后解得，又因为，所以.

【评注】设直线的方程为，由已知可得，在以为圆心，为半径的圆上，联立方程组消去，后得到与，，的关系式，利用倾斜角范围求出的范围，得到不等式求解.

【解法4】设椭圆的右焦点为，易知四边形是矩形，令，.如图12-1，，，，

由椭圆定义知:，又因为，，，

所以，其中，

所以.

【评注】同【解法1】得到离心率与的关系，把表达式平方后，，利用对勾函数求解.

【解法5】因为是的中点,所以.

所以,当时,此时点记为.

由得.

由题意得,所以,

所以所以.

又因为,所以.

【评注】利用椭圆上点到原点距离的变化趋势,结合极端情况,得到离心率的不等式巧解.

【解法6】因为,所以四边形为矩形,

又因为,所以,

因为,所以,

因为,所以,所以,所以,

又因为,所以.

【评注】利用矩形面积转化成两个焦点三角形面积后确定参数范围.

【赏析】

【解法1】利用橢圆的对称性,将转化为,将与用角表示,再利用椭圆的定义将离心率表示为的函数,进而求出离心率的取值范围。应用【解法1】求解时应注意角的取值范围.【解法1】体现了函数思想,要求学生有较好的分析能力及化归能力.

【解法2】将点的坐标用角表示,然后代入椭圆方程解出利用,求出的取值范围,得到关于的不等式,结合得出的取值范围.【解法2】利用了点在曲线上即点的坐标满足曲线方程的特征,解题过程中体现了方程思想与化归思想,对学生的运算能力及化归能力有较高的要求,利用余弦函数的有界性将问题转化为不等式问题是解题的关键.

【解法3】将直线的方程与圆联立,求出后代入粗圆方程解出后，再结合,得出,建立关于的不等式,结合,求出的取值范围.【解法3】与【解法2】类似,前者利用点的坐标,后者利用斜率,两者的思想完全相同,恰当合理的转化是解决问题的关键.

【解法4】将用表示,利用椭圆的定义及是直角三角形,将表示为的函数,利用对勾函数求解.【解法4】与【解法1】类似,只是对的处理上有所不同.【解法4】利用化切处理再结合均值不等式得解,体现了函数思想与化归思想,在数和式的处理上对学生提出了较高的要求.

【解法5】利用极端情况,即时的情况,将的长度用表示,再结合得到事实上这里也利用余弦定理及勾股定理将用表示,再结合椭圆定义得解.【解法5】采用“以静制动”的方式处理问题,要求学生具有较好的观察能力与推理能力.

【解法6】利用,结合焦点三角形面积公式将用表示,再利用的有界性求出的取值范围.【解法6】与【解法2】类似,这里利用了正弦函数的有界性,同样要求学生具有较好的分析、解决问题的能力和丰富的函数不等式的知识储备.

【例2】设是双曲线的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点.若,则的离心率是（）

A.B.2C.D.

【解析】

【解法1】不妨设直线的方程为.

将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用距离求解.

联立.可得，

由可得,可得或,

所以或者

当时不满足,所以.故选C.

【评注】将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用距离求解.

【解法2】不妨设直线的方程为.

联立可得,同理可得.

由得,所以,可得,

所以故选.

【评注】将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用纵坐标关系求解.

【解法3】由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离,

所以.

因为,所以.

因为,

所以,整理得,所以故选.

【评注】利用双曲线中的几何意义,以及正切函数的定义得到的关系式求解.

【解法4】过点向双曲线的另一条渐近线作垂线,垂足为,

则.

在中,得,

所以故选.

【评注】由双曲线的对称性,构造含角的直角三角形解决问题.

【赏析】

【解法1】利用坐标法求出直线与浙近线的交点坐标,再利用得到的关系式,进而求出离心率的值(注意对进行检验).【解法1】利用坐标法求解,将转化为,利用两点间距离进行处理.解题过程中体现了方程思想的运用.