高中二年级下学期数学《中国古代数学家求和的方法》教学课件.pptx

中国古代数学家求和的方法年级：高二（下）学科：数学（人教A版）

倒叙相加法错位相减法正整数的平方、立方、4次幂以至n次幂之和的公式由有限到无限、由数项到函数项

刘徽（约225年—约295年）案例一

几何？”“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里（1里=500m）良马初日行一百九十三里,日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐,复还迎驽马。问:几何日相逢及各行思考：良马每天所行路程有什么关系？第一天：193里第二天：193+13里

思考：良马每天所行路程有什么关系？第一天：193里第二天：193+13里第三天：193+13+13=193+2×13里第四天：193+2×13+13=193+3×13里……设第k天所行路程为里，则第k+1天所行路程为+13里，结论：设良马每日所行路程构成数列{}则数列{}是以193为首项，13为公差的等差数列

思考：驽马每天所行路程有什么关系？第一天：97里第二天：97-0.5里第三天：97-0.5-0.5=97-2×0.5里第四天：97-2×0.5-0.5=97-3×0.5里……设第k天所行路程为里，则第k+1天所行路程为-0.5里，结论：设驽马每日所行路程构成数列{}则数列{}是以97为首项，-0.5为公差的等差数列驽马初日行九十七里，日减半里。

2齐去长安总路程=良马所行总路程+驽马所行总路程等差数列{}的前n项和等差数列{}的前n项和

解：由题可知，良马每日行程构成一个首项为193，公差为13的等差数列驽马每日行程构成一个首项为97，公差为-0.5的等差数列则数列{}与数列{}的前n项和为2×3000又数列{}的前n项和为数列{}的前n项和为=2×3000

平行数中平里“中平里”良马：“平行数”193×15驽马：“平行数”97×15“中平里”193=193×15+13×（1+2+3+…+14）+(193+13)+(193+13×2）+(193+13×3）+…+(193+13×14)

经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物可用公式求出物体的总数。相当于求数列ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2),…(a+n-1)(b+n-1)=cd的和案例二北宋的数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢？沈括“用刍童(长方台)法求之,常失于数少”,他想堆积的酒坛、棋子等虽看起来像实体,但中间是有空隙的,应该把它们看成离散的量

求数列ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2),…(a+n-1)(b+n-1)=cd的和证明：设则

记数列{}的前n项和为则c=a+n-1d=b+n-1

课堂总结透过这些小故事，我们不仅能学习古算家求数列的和的思想方法，而且能体会这些数学思想方法诞生的曲折过程，感受到了数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识。

作业布置南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”例如,求图“圭垛”中的格点个数总和,杨辉认为虽然圭垛的形状与三角形相似,但要用梯形的面积公式计算,即在他的专著《译解九章算法?商功》中场将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式。例如三角垛指的是顶层放1个，第二层放3个,第三层放6个……第n层放个物体堆成的堆垛,类比图中的立体图形,杨辉推出了它的求和公式