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奉化中学2024分班考数学
一、单选题
1．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
2．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（????）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．已知，且，则下列不等式中恒成立的是（????）
A． B．
C． D．
5．已知集合，定义集合，则中元素的个数为（????）
A．77 B．49 C．45 D．30
二、多选题
6．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（????）
A．
B．函数是偶函数
C．任意一个非零有理数，对任意恒成立
D．存在三个点，使得ΔABC为等边三角形
7．已知函数的定义域为，且，若，则（????）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
三、填空题
8．，则的最小值为.
9．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．
四、解答题
10．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
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参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
2．B
【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．
故选：B．
3．B
【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.
【详解】由题意若不等式在上恒成立，
则必须满足，即，
由，两式相加得，
再由，两式相加得，
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，
解得，
经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
4．B
【解析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【详解】解：①已知，，且，所以，则，故错误．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即ab?1，由于，，且，所以：，，故正确．
③，故错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故错误．
故选：．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5．C
【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数.
【详解】，
则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示，
集合中有25个元素（即25个点），
即下图中正方形内部及正方形边上的整点，
所以或或或或或或，共7个值；
所以或或或或或或，共7个值，
所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．
故选：C.
6．ABCD
【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案.
【详解】，正确；
，偶函数，正确；
，正确；
易知三点构成等边三角形，正确；
故选：
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数
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