第04讲 拓展一：直线与椭圆的位置关系(14大核心考点,含弦长，面积，定点，定直线，向量等问题）（解析版）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

第04讲拓展一：直线与椭圆的位置关系

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 1

题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 4

题型三：重点考查椭圆的切线 8

题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 12

题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 16

题型六：重点考查求椭圆中弦长 22

题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 28

题型八：重点考查椭圆中四边形面积 32

题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 40

题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 45

题型十一：重点考查椭圆中定点问题 52

题型十二：重点考查椭圆中定值问题 60

题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 67

题型十四：重点考查椭圆中向量问题 74

题型一：重点考查直线与椭圆位置关系

典型例题

例题1．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（????）

A．0或1 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解.

【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即，

而，即点在椭圆的内部，

所以过点的直线与椭圆的交点个数是2.

故选：D.

例题2．（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】A

【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.

【详解】将直线l：变形为l：，

由得，于是直线l过定点，

而，于是点在椭圆C：内部，

因此直线l：与椭圆C：相交．

故选：A．

??

例题3．（23-24高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交

【答案】A

【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；

方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.

【详解】方法1：

∵，即：，

∴直线l恒过定点，

又∵椭圆

∴，

∴定点M在椭圆内，

∴直线l与椭圆相交.

方法2：

∴恒成立，

∴直线l与椭圆相交.

故选：A.

精练核心考点

1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（????）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切

【答案】D

【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.

【详解】直线：，

令，解得：，，

所以直线恒过定点，

，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.

故选：D

2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的位置关系是（）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系.

【详解】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为，

所以直线与椭圆相切.

故选：B.

3．（23-24高三下·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为．

【答案】2

【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数．

【详解】直线恒过，

由于，所以是椭圆内部的一点，

所以直线与椭圆恒有2个交点．

故答案为：2．

题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标

典型例题

例题1．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.

【详解】由可得，解得或

当时，，当时，

所以直线与椭圆的交点坐标为

故选：D

例题2．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆.

(1)若它们有两个公共点，求的取值范围；

(2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解；

（2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到，

由，解得，

所以实数的取值范围为.

（2）解：由（1）中，令，解得或，

当时，可得，解得；

当时，可得，解得，

所以公共点的横坐标为或.

例题3．（23-24高二·全国·课堂例题）判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．

【答案】有两个公共点，坐标为，；线段长为．

【分析】联立直线与椭圆方程，公共点的问题转化为方程组解的问题.求出直线与椭圆有两个公共点，利用两点间距离公式可得线段长.

【详解】联立直线与椭圆的方程，可得方程组，