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第十二章数学物理方程和定解条件数学物理方法——数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第1页。

常微分方程具有有限多个自由度的系统物理问题中的微分方程物理规律的数学描述偏微分方程具有无限多个自由度的连续介质或场描述对象以下导出常见的几个数学物理方程数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第2页。

物理问题12.1弦的横振动方程完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧后以某种方式激发，在铅直平面内作小振动，求弦的横振动方程。取弦的平衡位置为x轴，两端分别为x=0和x=l，设u(x,t)为弦上一点x在时刻t的横向位移。如图，弦上一小段dx两端x和x+dx处受到弹性力F的作用。数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第3页。

∵弦完全柔软∴F=T：切向应力，无法向力??dx足够小，可视为质点，它在x方向及垂直方向上的动力学方程为：牛顿第二定律忽略了重力的作用均匀弦数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第4页。

方程?变为：即小振动弦两端的位移之差u(x+dx,t)－u(x,t)与dx相比是一个小量因此，在准确到的一级项的条件下，（略去了的三级项）（略去了的二级项）方程?化为：（弦中各点张力相等，T不随x变化）数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第5页。

令，则a：弦的振动传播速度（后面证明）弦的横振动方程数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第6页。

当弦在横向上受到外力作用时，有f：单位长度上所受的外力因此，非齐次项是单位质量所受的外力数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第7页。

12.2杆的纵振动方程类似地处理杆的纵振动方程一根均匀细杆沿杆长方向作小振动，假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况（即位移）完全相同，并且不考虑在垂直方向上相应发生的形变。取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长方向的截面均用它的平衡位置x标记，在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t)，对于杆的一小段(x,x+dx)通过两端截面所受到的弹性力分别为P(x,t)S和P(x+dx,t)S。如图，其中P(x,t)为x处的截面在时刻t时，单位面积所受的弹性力。数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第8页。

若杆的密度为r，则略去杆长方向的形变，根据胡克定律，由牛顿第二定律可知E是杆的杨氏模量，是物质常数数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第9页。

令，则杆的纵振动方程为杆的纵振动弦的横振动机理不完全相同，偏微分方程形式完全一样。波动方程：是拉普拉斯算符杆的纵振动方程数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第10页。

12.3热传导方程推导热传导方程的方法与前面完全相同不同之处：具体的物理规律不同波动方程——牛顿第二定律、胡克定律热传导方程——能量守恒定律、热传导的傅里叶定律热传导的傅里叶定律设u(x,y,z,t)表示连续介质内空间坐标为(x,y,z)点在时刻t的温度，若介质内存在温度差，而温度变化不大时，则热流密度与温度梯度成正比，比例系数k称为热导率，k的大小与介质材料和温度有关，若温度变化不大时，k近似地与温度u无关。负号表示热流方向与温度变化方向相反，即热量由高温流向低温。数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第11页。

均匀各向同性介质中的热传导方程如图，介质内部的一个长方体微元，建立坐标系使坐标面与长方体表面重合。从时刻t到时刻t+dt，沿x轴方向流入长方体微元的热量为：数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第12页。

同理，在dt时间内沿y、z方向流入体积微元的热量分别为：流入体积微元的净热量为：数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第13页。

令，则?若体积微元内没有其它热源或消耗，由能量守恒定律可知：净流入的热量等于介质在此时间内温度升高所需的热量。r：介质密度c：比热容k为温度传导率数学物理方程和定解条件全文共48页，当前为第14页。

令，则?若体积微元内有热量产生（化学反应、电流通过等），单位时间内单位体积中产生的热量为F(x,y,z,t)，则有：数学