高考数学科学复习创新方案提升版 素能培优（六）数列中的创新应用问题Word版.doc

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考情分析：数列中的创新应用问题是每年命题的热点，创新主要体现在以下三点：新定义、新情景、新交汇，三种题型均有可能．

创新点

难度

2023

Ⅰ卷T21

与概率交汇命题

难

Ⅱ卷T18

与不等式交汇

中

2022

Ⅰ卷T17

与不等式交汇

难

Ⅱ卷T3，T17

以数学文化为载体，与集合交汇

中

2021

Ⅰ卷T16

以数学文化为载体

难

Ⅱ卷T12

新定义

难

考向一新定义问题

例1(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.则()

A．ω(2n)＝ω(n)

B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1

C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)

D．ω(2n－1)＝n

答案ACD

解析对于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正确；对于B，取n＝2，2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，所以ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，B错误；对于C，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以ω(8n＋5)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2，所以ω(4n＋3)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，所以ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C正确；对于D，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，所以ω(2n－1)＝n，D正确．故选ACD.

解决数列中的新定义问题的一般流程

(1)读懂定义，理解新定义数列的含义．

(2)特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论．

(3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案．

(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解．

1.(2023·武汉三模)将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤ij≤n，如果aiaj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为()

A．4 B．5

C．6 D．7

答案B

解析若n＝4，则1≤ij≤4，由1，2，3，4构成的逆序对有(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，若数列{an}的第一个数为4，则至少有3个逆序对；若数列{an}的第二个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{1，4，2，3}；若数列{an}的第三个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{1，3，4，2}或{2，1，4，3}；若数列{an}的第四个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{2，3，1，4}或{3，1，2，4}．综上，恰有2个逆序对的数列{an}的个数为5.故选B.

2．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为等差数列，则称数列{an}为“二阶等差数列”．若{an}不是等比数列，但{an}中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称{an}是“局部等比数列”．若数列{an}既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”，则{an}的通项公式可以是()

A．an＝1 B．an＝n

C．an＝n2 D．an＝eq\r(n)

答案BC

解析对于A，数列{an}是等比数列，不满足题意；对于B，an＋1－an＝1，{an＋1－an}为等差数列，数列{n}不是等比数列，在{n}中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意；对于C，an＋1－an＝2n＋1，{an＋1－an}为等差数列，数列{n2}不是等比数列，在{n2}中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意；对于D，an＋1－an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，{an－an－1}不是等差数列，不满足题意．

考向二数学文化与数列的实际应用

例2(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的