高考数学科学复习创新方案提升版 第9讲 函数的奇偶性与周期性Word版.doc

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第9讲函数的奇偶性与周期性

[课程标准]1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义．

1．函数的奇偶性

奇函数

偶函数

定义

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有eq\x(\s\up1(01))－x∈I

且eq\x(\s\up1(02))f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

图象特点

关于eq\x(\s\up1(04))原点对称

关于eq\x(\s\up1(05))y轴对称

2.函数的周期性

(1)周期函数

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq\x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq\x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个eq\x(\s\up1(08))最小的正数，那么这个eq\x(\s\up1(09))最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．

2．周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．

3．对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

1．(2023·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()

A．y＝lnx B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|

答案B

解析对于A，y＝lnx为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B.

2．(人教B必修第一册习题3－1BT8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()

A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)

答案B

解析显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).

3.(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案[－5，－2)∪(2，5]

解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，

∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．

4．(人教A必修第一册习题3.2T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．

答案f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x0，,0，x＝0，,x－1，x0))

解析当x0时，－x0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4