高考数学科学复习创新方案提升版 第8讲 函数的单调性与最值Word版.doc

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第8讲函数的单调性与最值

[课程标准]借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

1．函数的单调性

(1)定义

单调递增

单调递减

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I.?x1，x2∈D

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上eq\x(\s\up1(01))单调递增

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上eq\x(\s\up1(02))单调递减

图象描述

自左向右看图象是eq\x(\s\up1(03))上升的

自左向右看图象是eq\x(\s\up1(04))下降的

增(减)函数

当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)eq\x(\s\up1(05))单调性，区间D叫做y＝f(x)的eq\x(\s\up1(06))单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I，都有f(x)≤M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)?x∈I，都有f(x)≥M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为函数y＝f(x)的eq\x(\s\up1(07))最大值

M为函数y＝f(x)的eq\x(\s\up1(08))最小值

1．函数单调性的两个等价结论

设?x1，x2∈D(x1≠x2)，则eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)()0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]()0)?f(x)在D上单调递增(减)．

2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；

(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．

3．对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a0)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)；单调递减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]，且对勾函数为奇函数．

1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()

A．y＝－eq\f(1,x＋1) B．y＝xeq\s\up7(\f(1,3))

C．y＝2－x D．y＝logeq\s\do10(\f(1,2))(x＋1)

答案AB

解析对于A，y＝－eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，符合题意；对于C，y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，不符合题意；对于D，y＝logeq\s\do10(\f(1,2))(x＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，不符合题意．

2．(人教A必修第一册习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是()

A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增

B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2

C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3

D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1t2

答案C

解析由已知得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，A错误；f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，无最小值，B错误；C正确；当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1≤t≤2，D错误．

3．(2024·嘉兴一中月考)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()

A．f(m)f(1) B．f(m)f(1)

C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)

答案B

解析因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－10，得m1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)f(1)．故选B.

4．(人教A必修第一册3.2.1例5改编)已知函数f(x)＝eq\f(2,1－x)，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

答案－eq\f(2,5)－2

解析可判断函数f(x)＝eq\f(2,1－x)在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max＝f(6)＝－eq\f(2,5