第24讲 复数（解析版） .docxVIP

第24讲复数

1、复数的有关概念

（1）形如()的数叫做复数，其中分别是复数的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．

(2)复数相等：()．

(3)的共轭复数为()．

(4)复数()与复平面的点一一对应．

(5)复数()的模

注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．

2、复平面及复数的几何意义

（1）.复平面

（2）复数的几何意义

①复数()复平面内的点.

②复数()平面向量.

（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.

②记法：复数i的模记为或③公式：

（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则

3、复数加法与减法的运算法则

（1）设，()是任意两个复数，则

①；②

（2）对任意，有

①；②.

4、复数加减法的几何意义

如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数对应.

5、复数乘法的运算法则和运算律

（1）复数的乘法法则

设，()是任意两个复数，则.

2.复数乘法的运算律

对任意复数，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

6、复数除法的法则

设，(，且)是任意两个复数，

则

7、方程的虚数根

对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．

8、常用结论

①②③

题型一：复数的相关概念

1．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二月考）已知复数是纯虚数，则实数的值为（）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】A

【详解】

是纯虚数，

，解得：.

故选：A.

2．（上海市亭林中学）复数，则实数（）

A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3

【答案】B

【详解】

因为为实数，且，

所以，解得，

故选：B．

3．（江苏沭阳·）已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

依题意可得，解得.

故选：A.

4．（江门市第二中学高一月考）若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（）

A．-2i B．2i C．-2 D．2

【答案】C

【详解】

解：由复数，

则复数的虚部为-2.

故选：C.

5．（广东荔湾·广雅中学高三月考）若复数z满足，则z的虚部是（）

A．i B．4 C．-4i D．

【答案】B

【详解】

由题：，，

所以z的虚部是4.

故选：B

题型二：复数相等

1．（福建永泰县三中高一月考）.若实数满足，则的值是（）

A．-2 B．2 C．1 D．-3

【答案】C

【详解】

依题意，

所以.

故选：C

2．（元氏县第四中学高二月考）已知，（，为虚数单位），则实数的值为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【详解】

，，

，，.

故选：C.

3．（安徽省亳州市第一中学）已知，复数，（为虚数单位），若，则（）

A．1 B．2 C．-2 D．-4

【答案】B

【详解】

解：，解得：，所以，

故选：B

4．（临沂市兰山区教学研究室高一期中）若，则是的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】

若，则，

所以则是的充要条件.

故选：C

5．（永安市第三中学）已知复数，、，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，所以，，则，因此，.

故选：D.

题型三：复数的几何意义

1．（安徽省涡阳第一中学高二月考）复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

由题意，

在复平面中对应的点坐标为，在第一象限

故选：A

2．（全国高一课时练习）复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）

∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）

对应的向量＝﹣3﹣4i

故选：A．

3．（全国高二课时练习）复数与对应的向量分别为，，则所对应的复数是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意可知，向量对应的复数是.

故选：D

4．（湖南湘潭·高三一模）已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】

因为，

所以对应的复平面上的点为，它位于第四象限．

故选：D．

5．（怀仁市大地学校高中部高一月考）复数（位虚数单位）在