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第3章控制系统的时域分析;
3.1自动控制系统的时域指标;
3.1.1自动控制系统的典型输入信号
1.阶跃函数
阶跃函数的数学表达式为
式(3-1)中,R为常数。r(t)表示一个在t=0时出现的幅值为R的阶跃变化函数,如图3-1(a)所示。在实际系统中,当R=1时,称为单位阶跃函数,用1(t)表示。幅值为R的阶跃函数用R·1(t)表示。在任意时刻t0出现的阶跃函数用R·1(t-t0)表示。;;
2.斜坡函数
斜坡函数的数学表达式为
式(3-2)中,R为常数。r(t)表示一个从t=0时刻开始,以恒定速率R随时间而变化的函)数,如图3-1(b)所示。当R=1时,称为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R,所以斜坡函数代表匀速变化的信号,斜坡函数也称为等速度函数。斜坡函数的导数等于阶跃函数,同时,阶跃函数的积分等于斜坡函数。;
3.脉冲函数
脉冲函数的数学表达式为
式(3-3)中,A为脉冲函数的面积,即面积A表示脉冲函数的强度,脉冲函数如图3-2(a)所示。;
A=1,h→0时的脉冲函数称为单位脉冲函数,记为δ(t),如图3-2(b)所示,其表达式为
即;;
4.加速度函数
加速度函数的数学表达式为
式(3-5)中,R为常数。r(t)表示一个从t=0时刻开始,以恒定加速度R随时间而变化的函数,如图3-3(a)所示。当R=1时,称为单位加速度函数。加速度函数的导数等于斜坡函数,同时,斜坡函数的积分等于加速度函数。;
加速度函数、斜坡函数、阶跃函数、脉冲函数之间的关系为
或;
5.正弦函数
正弦函数的数学表达式为
式(3-7)中,A为正弦函数的振幅,ω=2πf为正弦函数的角频率,正弦函数如图3-3(b)所示。;;
3.1.2自动控制系统的时域指标
对于一个控制系统而言,在阶跃输入信号作用下,系统的时域响应可能有四种形式,分别为衰减振荡过程、非周期衰减过程、发散振荡过程和等幅振荡过程,各响应形式如图3-4所示。其中衰减振荡过程和非周期衰减过程属于稳定的过程,发散振荡过程属于不稳定过程,等幅振荡过程属于临界稳定过程。;;
1.稳态性能
控???系统的稳态响应是指当t→∞时系统的输出状态,通常采用稳态误差ess来衡量。稳态误差ess是描述系统稳态性能的指标,其定义为:在输入信号作用下,当时间t→∞时,系统输出响应的期望值与实际值之差,即
稳态误差ess反映了系统跟踪输入信号的能力,是评价稳定系统准确性的性能指标,是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。;
2.动态性能(暂态性能)
稳定的系统在单位阶跃输入信号下,其动态过程随时间t变化状况的指标,称为动态性能指标。为了便于分析和比较,假定系统在单位阶跃信号作用前处于静止状态,而且输出量及其各阶导数均等于零。;
1)阶跃响应曲线为衰减振荡过程
单位阶跃响应为衰减振荡过程的响应曲线如图3-5所示,其动态性能指标通常如下。
;
(1)延迟时间td:指系统输出响应从零时刻首次到达稳态值一半所需的时间。
(2)上升时间tr:指系统响应从零时刻首次到达稳态值的时间,即单位阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。
(3)峰值时间tp:指系统响应从零时刻到达第一个峰值所需的时间,即单位阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。
(4)调节时间ts:指系统响应达到并保持在稳态值范围±Δ%误差带内不再超出的最短时间。;
(5)最大超调量σ%:指系统响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数,即
(6)振荡次数N:指在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。
述几个动态性能指标基本上可以体现系统动态过程的特征。通常用上升时间tr或峰值时间tp来评价系统的响应速度,用最大超调量σ%和振荡次数N来评价系统的阻尼特性或相对稳定性,用调节时间ts来评价系统的快速性和平稳性。;
2)阶跃响应曲线为非周期稳态过程
单位阶跃响应为非周期衰减过程的响应曲线如图3-6所示。;
3.2一阶系统的动态响应;
3.2.2一阶系统的单位阶跃响应
当一阶系统的输入信号为单位阶跃信号时,即r(t)=1(t),可得一阶系统的单位阶跃响应h(t)为
由式(3-12)可知,一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零,以指数规律上升到终值的曲线,为非周期响应,如图3-7所示。;;
根据式(3-12)和图3-7可知,时间常数T是表示一阶系统响应的唯一特征参数,可用来度量系统的输出值。当t=T,2T,3T,4T时,h(t)数值分别为;
另外,当对一阶系统的单位阶跃响应,即对式(3-12)求
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