高考数学科学复习创新方案提升版 高考大题冲关系列（2）解三角形综合问题的热点题型Word版.doc

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命题动向：解三角形不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、不等式等知识的交汇处命题．以解答题的形式出现，难度中等．备考中首先要熟练掌握正弦定理、余弦定理的基本应用，然后要注意三角函数性质、三角恒等变换、基本不等式及平面几何图形的性质等知识的综合应用．

题型1三角形中边长、角度、周长和面积的计算问题

例1(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\r(3)，D为BC的中点，且AD＝1.

(1)若∠ADC＝eq\f(π,3)，求tanB；

(2)若b2＋c2＝8，求b，c.

解(1)解法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝eq\f(π,3)，AD＝1，

则S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin∠ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)a＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4.

在△ABD中，∠ADB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，

即c2＝4＋1－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7，解得c＝eq\r(7)，

则cosB＝eq\f(7＋4－1,2\r(7)×2)＝eq\f(5\r(7),14)，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(7),14)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),14)，

所以tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(\r(3),5).

解法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝eq\f(π,3)，AD＝1，则S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin∠ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)a＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4.

在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，即b2＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，解得b＝eq\r(3)，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,6).

过A作AE⊥BC于点E，于是CE＝ACcosC＝eq\f(3,2)，AE＝ACsinC＝eq\f(\r(3),2)，BE＝eq\f(5,2)，

所以tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\r(3),5).

(2)解法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,4)a2＋1－2×\f(1,2)a×1×cos（π－∠ADC），,b2＝\f(1,4)a2＋1－2×\f(1,2)a×1×cos∠ADC，))

整理得eq\f(1,2)a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2eq\r(3)，又S△ADC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin∠ADC＝eq\f(\r(3),2)，解得sin∠ADC＝1，而0∠ADCπ，于是∠ADC＝eq\f(π,2)，所以b＝c＝eq\r(AD2＋CD2)＝2.

解法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，于是4eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2eq\r(3)，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8－12,2bc)＝－eq\f(2,bc)，

所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsin∠BAC

＝eq\f(1,2)bc