高考数学科学复习创新方案提升版 素能培优 （一） 基本不等式的综合应用 Word版.doc

PAGE6

考情分析：基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆定义与基本不等式的综合，较容易．

考向一基本不等式与基本初等函数的综合

例1(1)(2024·开封模拟)已知a1，b1，且log2eq\r(a)＝logb4，则ab的最小值为()

A．4 B．8

C．16 D．32

答案C

解析因为log2eq\r(a)＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2(ab)＝log2a＋log2b≥2eq\r(log2a·log2b)＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以(ab)min＝24＝16.故选C.

(2)已知角α，β均为锐角，tanβ＝eq\f(tanα,2)，则当tanα＝________时，tan(α－β)取得最大值________．

答案eq\r(2)eq\f(\r(2),4)

解析设tanβ＝k，则tanα＝2k，由角α，β均为锐角得k0，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(k,1＋2k2)＝eq\f(1,\f(1,k)＋2k)≤eq\f(1,2\r(\f(1,k)·2k))＝eq\f(\r(2),4)，当且仅当eq\f(1,k)＝2k，即k＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，此时tanα＝eq\r(2)，所以当tanα＝eq\r(2)时，tan(α－β)取得最大值eq\f(\r(2),4).

基本不等式与基本初等函数的常见衔接点

应用基本不等式求最值的关键点之一是“和或积为定值”，在基本初等函数中常见的与此有联系的点如下：

ax·ay＝ax＋y(a＞0，且a≠1)；logax＋logay＝loga(xy)(a＞0，且a≠1)；

sin2α＋cos2α＝1，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)等．

(2023·日照一模)已知x0，y0，设p：2x＋2y≥4，q：xy≥1，则p是q的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案B

解析当x＝eq\f(1,3)，y＝2时，2eq\s\up7(\f(1,3))＋22≥4，满足2x＋2y≥4，但xy＝eq\f(1,3)×2＝eq\f(2,3)1，不满足xy≥1，所以p不是q的充分条件；当xy≥1，x0，y0时，1≤xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，即x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以2x＋y≥22＝4，即2x·2y≥4，又4≤2x·2y≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2y,2)))eq\s\up12(2)，当且仅当x＝y时取等号，解得2x＋2y≥4，所以p是q的必要条件．所以p是q的必要不充分条件．故选B.

考向二基本不等式与向量、解三角形的综合

例2(1)在△ABC中，E为AC上一点，eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，P为BE上任一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m0，n0)，则eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)的最小值是()

A．9 B．10

C．11 D．12

答案D

解析由题意可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋3neq\o(AE,\s\up6(→))，P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)＋\f(1,n)))(m＋3n)＝6＋eq\f(9n,m)＋eq\f(m,n)≥6＋2eq\r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，当且仅当m＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,6)时，等号成立．所以eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)的最小值是12.

(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＝－co