七节多元函数极值.pptx

9.7.1无条件极值9.7多元函数的极值则称点P0为函数的极大值点(或极小值点),称为函数的极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为函数的极值点,如果对于该邻域内异于P0的任意一点P,都有设多元函数在点P0的某邻域内有定义,

简单函数的极值是容易判断的.在(0,0)点取极小值(也是最小值).在(0,0)点取极大值(也是最大值).在(0,0)点无极值.旋转抛物面下半锥面马鞍面例函数例函数例函数

证定理9.10(极值存在的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:都有必有类似地可证不妨设处有极大值,有说明一元函数处有极大值,设函数具有偏导数,且在点处有极值,

推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为点,均称为函数的驻点.极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的如何判定一个驻点是否为极值点?如,点的驻点,但不是极值点.注:驻点

定理9.11(极值存在的充分条件)且有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,时,有极大值,时,有极小值;(2)无极值;(3)可能有极值,也可能无极值.设函数的某邻域内连续,又令

说明：但z(0,0)=0为极小值,在(0,0)点处均有对于函数与而u(0,0)=0不是极值.

求函数极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A、B、C.再判定是否是极值.第三步:定出的符号,

例1求函数的极值.解令又在(0,0)处,在(1,1)处,故故在(0,0)无极值;在(1,1)有极小值,得驻点

解方程两边分别对x,y求偏导数,得得驻点方程组两边再分别对x,y求偏导数,例2求由方程令确定的函数的极值.

故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以,所以,

解设x,y是两个变量,通过实验测得了x与y的一组例3(最小二乘法)令数据是x的线性函数,即如果猜测变量y试确定常数a,b,使得最小.

解得得

取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点.如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处在点(0,0)处的偏导数注:还应研究偏导数不存在的点.

并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值:对自变量有附加条件的极值.9.7.2条件极值拉格朗日乘数法

解例4已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,令得驻点

上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值.有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,方法——拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.

其中均为常数,可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.下的极值.例如,求函数在条件先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个

解过的切平面方程为例5在第一卦限作椭球面的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求