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高等数学（上册）（慕课版）习题课第1章函数、极限与连续

21例解计算．原式．习题课2

32例解．计算．习题课3

43例解．计算．习题课4

54例解．计算．习题课5

65例解又当n1时，设，，证明数列的极限存在，并求此极限.因而数列有界.由知，均为正数，故由数学归纳法知，对任意正整数均有，n1习题课6

7因而有(n1)，即数列单调增加.由单调有界数列必有极限知存在.设，在两边取极限，得，解之得，（舍去），故．．习题课7

86例解利用三角形的和、差化积公式根据有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，所以计算．当时，，，．．习题课8

证明7例设，，，证明：由于，所以，有，又，所以由夹逼准则得习题课9

108例解求．令，则当时，，，，习题课10

11所以由夹逼准则知，即.．习题课11

9例解设函数问函数在x=1处是，否连续？若不连续，修改函数在x=1处的定义，使之连续.因为，习题课12

13即为连续函数.所以函数在x=1处不连续，x=1是的可去间断点.将函数在x=1处的函数值改为，则该函数习题课13

10例证明设在[0,1]上连续，且，证明：（1）存在，使；（2）存对任何正整数n，存在，使.（1）设，则，，故.习题课14

另一方面，.由介值定理知，存在使得.（2）设，则，，，…，.习题课15

即以上诸式相加得，而另一方面，由闭区间上连续函数的介值定理，存在，使，，即.习题课16

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高等数学（上册）（慕课版）本章导学第1章函数、极限与连续

高等数学的主要研究对象是函数，又以研究连续函数为主，而极限是研究函数的重要方法，也是微积分学中研究问题的基本工所以我们将对函数的概念进行复习和补充，学习极限的理论，讨论如何利用极限思想研究函数，讨论函数的连续性，本章将为我们学习高等数学奠定坚实的基础.本章主要内容包括：函数的概念与性质、基本初等函数与初等函数极限的概念与性质极限的四则运算法则极限的收敛法则两个重要极限无穷小量与无穷大量函数的连续性19具.第1章函数、极限与连续19

01函数02极限03连续本讲内