8.2 一元线性回归模型及其应用 -(选择性必修第二、三册) (教师版) .docxVIP

一元线性回归模型及其应用

1一元线性回归模型

用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2

Y=bx+a+e

我们称它为Y关于x的一元线性回归模型.

2线性回归方程

对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为x1,y1,x2,y

b

我们将y=bx+a称为

备注线性回归直线经过定点(x

3残差分析

通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析.

通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为0，方差为σ2

4比较模型的拟合效果

(i)残差平方和

残差平方和Q=i=1

(ii)相关指数R

R

R2越大，残差平方和i=1

【题型一】一元线性回归模型

【典题1】某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(元)和销售额y(元)的数据，整理得到下面的散点图：

已知销售额y=单价x×销量z，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的回归方程类型的是()

A．z=a+bx B．z=a+bx C．z=a+bx

【解析】由散点图知，销售额y与单价x呈线性关系，不妨设y=m+nx，

所以z=yx=m+nx

故选：B．

【典题2】已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)组成的一个样本，得到回归直线方程为y=2x?0.4且x

A．相关变量x,y具有正相关关系

B．去除歧义点后的回归直线方程为y=3x?3.2

C．去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小

D．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1(附：e1=y1

【解析】对选项A、B：

由x=2，代入y=2x?0.4，得

(样本中心(x，y)一定在线性回归方程y=

∴去除两个歧义点(?2,7)和(2,?7)后，得到新的x=2×8?2+26

又得到新的回归直线的斜率为3，

∴新的线性回归方程的a=4.8?3×

则去除两个歧义点后的线性回归方程为y=3x?3.2，故B

(求出新的样本中心(x，y)，再利用其一定在线性回归方程y=b

又由斜率30，相关变量x,y具有正相关关系，故A正确；

对选项C：

原本回归直线方程y=2x?0.4中x增加1则y增加2，去除歧义点后，回归直线方程y=3x?3.2中x增加1则y增加3，故去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变大，故

对选项D：

当x=4时，y=3×4?3.2=8.8，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.9?8.8=0.1，故D

故选：ABD．

【典题3】2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图．(图中月份代码1～13分别对应2019年12月～2020年12月)

根据散点图选择y=a+bx和y=c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为y=0.9369+0.0285x

y=0.9369+0.0285

y=0.9554+0.0306lnx

R

0.923

0.973

注：x是样本数据中x的平均数，y是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是()

A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系

B．由y=0.9369+0.0285x预测2021年3月在售二手房均价约为

C．曲线y=0.9369+0.0285x与y=0.9554+0.0306lnx都经过点(x，

D．模型y=0.9554+0.0306lnx回归曲线的拟合效果比模型y

【解析】由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误；

2021年3月，相对2019年12月为x=1，此时x=16，代入y=0.9369+0.0285x，求得1.0509，故

(在实际应用中要注意理解变量x、

曲线y=0.9369+0.0285x经过点(x,y)，曲线

(样本中心(x，y)一定在线性回归方程y=bx+

因为0.9730.923，所以模型y=0.9554+0.0306lnx回归曲线的拟合效果比模型y=0.9369+0.0285x

(R2

故选：BD．

巩固练习

1(★)某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(