第15讲 导数的应用（导数与函数的极值，最值）（解析版）.docxVIP

导数与函数的极值、最值

1．极值点与极值

(1)极小值点与极小值

若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．

(2)极大值点与极大值

若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

特别提醒：

（1），不一定是极值点

（2）只有且两侧单调性不同，才是极值点.

(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.

2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：

（1）确定函数的定义域

（2）求方程的根

（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况

若左正右负，则为极大值；

若左负右正，则为极小值；

若左右同号，则无极值。

3.最大值:

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有;

（2）存在，使得

那么，称是函数的最大值

4.最小值:

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有;

（2）存在，使得

那么，称是函数的最小值

题型一：求极值

1．（全国高二课时练习）函数的极小值为（）

A．1 B．

C． D．

【答案】B

【详解】

f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f′(x)

－

0

＋

f(x)

单调递减

极小值

单调递增

当x＝时，f(x)有极小值．

故选：B．

2．（全国高二课时练习）函数在区间上的极大值为（）

A． B．

C．－1 D．0

【答案】C

【详解】

f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0，1)时，f′(x)0，当x∈(1，e)时，f′(x)0，

故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.

故选：C

3．（河南新乡县一中（文））已知函数，则的极大值为（）

A．0 B． C． D．1

【答案】D

【详解】

因为，所以在，上单调递增，在[0，1]上单调递减，

所以的极大值为.

故选：D

4．（江苏沭阳·高二期中）函数的极大值为（）

A．18 B．21 C．26 D．28

【答案】D

【详解】

函数的定义域为，求导，令，解得：，

极大值

极小值

所以当时，函数有极大值

故选：D.

5．（福建南平·高二期末）已知是函数的极小值点，则函数的极小值为（）

A． B． C． D．4

【答案】B

【详解】

由题意，函数，可得，

因为是函数的极小值点，

则，即，解得，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当是函数的极小值点，

所以函数的极小值为.

故选：B.

6．（山西省古县第一中学高二期中（理））已知函数的极大值和极小值分别为，，则（）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【详解】

解：，当时，该方程两个根为，

或，，

故在取到极大值、极小值，且，

.

故选：D.

7．（全国高二课时练习）函数在上的极大值为（）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【详解】

由可得

当时，单调递增

当时，单调递减

所以函数在上的极大值为

故选：A

8．（全国高二课时练习）已知函数极值点的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

解：由，可得，

由，可得，令，可得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

故可得函数存在一个极值点，

故选：B.

题型二：根据极值求参数

1．（西藏日喀则区南木林高级中学高二期末（文））函数，已知在时取得极值，则等于（）

A．2 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【详解】

由题意，，且，

∴，可得.

∴，

当，有或，则、上递增；

当，有，则上递减；

∴是的极值点.

综上，.

故选：B

2．（安徽师范大学附属中学高二期中（文））函数在处有极值10，则的值为（）

A．，，或， B．，，或，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

因为，所以，

由题意可得：，解得：或.

当时，，

在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；

当时，恒成立，

所以在处无极值，应舍去；

故选：C

3．（陕西武功·高二期中（理））函数，已知在时取得极值，则的值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【详解】

对函数求导得，

因为在时取得极值，所以，解得.

故选：D.

4．（宁夏吴忠中学（文））若函数既有极大