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2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义(人教A版2019必修第一册)
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3.4函数的应用(一)5题型分类
一、用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,用函数刻画实际问题,初步选择模型.
(2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)求模:求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原:利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
可将这些步骤用框图表示如下:
二、常见的函数模型
(1)一次函数模型:即直线模型,其特点是随着自变量的增大,函数值匀速增大或减小.现实生活中很多事例可以用该模型来表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长量与拉力的关系等.
(2)二次函数模型:二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故最优、最省等问题常常是二次函数的模型.
(3)分段函数模型:由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.
(一)
一次函数模型
用一次函数模型解决实际问题的解题方法
(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围;
(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型;
(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验.
注:(1)一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
(2)一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
题型1:用一次函数模型解决实际问题
1-1.(2024高一上·全国·课后作业)(多选)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元)?乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲?乙所示,则(????)
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为
C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为
1-2.(2024高一·全国·课后作业)在一次数学实践课上,同学们进行节能住房设计,综合分析后,设计出房屋的剖面图(如图所示),屋顶所在直线方程分别是yx+3和x,为保证采光,竖直窗户的高度设计为1m,那么点A的横坐标为.
1-3.(2024高一上·浙江·期末)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民实行“阶梯水价”,计费方法如下表:
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元,则此户居民的用水量为(????)
A. B. C. D.
1-4.(2024高三·全国·专题练习)(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是(????)
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B.甲从家到公园的时间是30min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x
(二)
二次函数模型
1、二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c,a≠0.在函数建模中,它占有重要的地位,在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题,二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
2、利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值的自变量与实际意义是否相符.
题型2:二次函数模型及应用
2-1.(2024高一上·云南昭通·期中)某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件,经试销调查,发现销售量(件)与销售单价(元/件)可近似看作一次函数的关系.设商店获得的利润(利润销售总收入总成本)为元.
(1)试用销售单价表示利润;
(2)试问销售单价定为多少时,该商店可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?
2-2.(2024·河北·模拟预测)劳动实践是大学生学习知识?锻炼
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