高考数学科学复习创新方案提升版 第6讲 一元二次不等式的解法 Word版.doc

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第6讲一元二次不等式的解法

[课程标准]1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

1．三个二次之间的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有eq\x(\s\up1(01))两相异实根x1，x2(x1x2)

有eq\x(\s\up1(02))两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

eq\x(\s\up1(03))没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|eq\x(\s\up1(04))xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(05))x≠－\f(b,2a)))))

eq\x(\s\up1(06))R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|eq\x(\s\up1(07))x1xx2}

eq\x(\s\up1(08))?

eq\x(\s\up1(09))?

2.分式不等式与整式不等式的关系

(1)eq\f(f（x）,g（x）)0(0)?eq\x(\s\up1(10))f(x)g(x)0(0)．

(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))

一元二次不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R)．

(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R)．

1．(2023·德阳模拟)设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∪B＝()

A．[－1，3] B．[－1，4)

C．(1，3] D．(1，4)

答案B

解析由x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，∴B＝{x|－1≤x≤3}，∴A∪B＝[－1，4)．故选B.

2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为()

A．? B．R

C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)))))

答案D

解析因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2))))).

3．(人教A必修第一册习题2.3T3改编)设全集U＝R，集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)≤0))))，Q＝{x|x≤4}，则P∩Q＝()

A．[0，1) B．[0，1]

C．(－∞，0]∪(1，4] D．(－∞，0]∪[1，4]

答案A

解析因为集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)≤0))))＝{x|0≤x1}，Q＝{x|x≤4}，所以P∩Q＝{x|0≤x＜1}＝[0，1)．故选A.

4．(2024·滨州质检)若0t1，则关于x的不等式(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))0的解集为()

A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)xt)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x\f(1,t)或xt))))

C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x\f(1,t)或xt)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(tx\f(1,t)))))

答案D

解析因为0t1，所以teq\f(1,t)，所以(t－x)eq\b\