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5.3齐次方程1.齐次方程2.可化为齐次的方程3.应用
如果一阶微分方程可以写成齐次方程.即代入得到即的形式,作变量代换则称之为可分离变量的方程分离变量1.齐次方程两边积分,求出通解后,解法
例解方程解将方程写为齐次方程方程变为即积分得通解(C为任意常数)
求解微分方程方程的解为解齐次方程练一练(C为任意常数)
分析解令方程变为.的通解求方程例齐次方程
两边积分即得通解分离变量(C为任意常数)
为齐次型方程.(其中h和k是待定的常数)否则为非齐次型方程.解法形如的微分方程2.可化为齐次方程的方程
求得通解代回为齐次型方程.即得原方程的通解
解代入原方程得例方程组是齐次型方程.方程变为
通解或两边积分分离变量(C为任意常数)
例探照灯反射镜的设计一凹镜是由xOy平面上一条曲线L绕x轴旋转一周形成的(如图),假设由O点发出的光线经此凹镜反射后都与x轴平行(探照灯内的凹镜就是这样的),求曲线L的方程.解设O点发出的某条光线经L上一点M(x,y)反射后是一条与x轴平行的直线MS.又设过点M的切线AT与x轴的倾角是由题意设L的方程为3.应用
由光学中的反射定律入射角=反射角齐次方程入射角余角=反射角余角
y为自变量,视x为函数变量,若方程变为求解过程比较复杂!而方程变为x为自变量,视y为函数变量,求解过程比较简单!
代入上式得由曲线L的对称性,不妨设y0,上式为分离变量可分离变量的方程
两边积分得即即代入,得这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点在原点的抛物线.
小结齐次方程解法:
作业P1521(2)(5)(6),2(3),3
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