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SARS模型分析
一、解答综述1、对已有模型的评价对题目之中给出的疫情分析及对北京疫情走势的预测一文,每个队都对文章中的建模思路、模型、参数和预测进行了客观的评价。
概括起来文章的优点有:
模型简单明了地反映了疾病的传播过程,抓住了SARS传播过程中两个主要特征传染期和传染率,L是指平均每个病人可以直接感染他人的时间,K是指平均每病人每天可传染的人数,对其给出了估计方法。
对北京、广东与香港的疫情进行了分析比较,预测值与实际统计较接近模型特别简单、计算量小,容易理解和使用,模型的灵活性在于适当挑选初始值N0。
和参数K、L就可以描述不同地区、不同控制措施下的SARS传播情况。
模型的不足在于对如何确定初始值N0。
和参数L与K缺乏一般的原则或算法,这种指数变化的趋势作为长期预测不合理。
另外还需要指出的是不少论文还对模型进行了推导、计算和改进,例如分段确定参数或使用随时间变化的,这些使得模型的理论基础更加完备,实用性更加广泛。
2、SARS的建模和预测在叙述了SARA传播机理的基础上,作出类似于下面这些基本合理的假设:
①单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例②单位时间内治愈人数与现有感染者成比例③单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例④患者治愈恢复后不再被感染⑤各类人口的自然死亡可以忽略⑥忽略迁移的影响。
这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函数、或分几段取常数。
当然,还可以根据需要做其它假设。
建立模型一般是利用房室结构,将总人口分为易感者、患者、恢复者,再仔细一些的还有潜伏者、隔离者、疑似病人和确诊病人等类型。
叙述或作出各类人口之间流动的示意图,并根据传染病建模的一般原理建立起如SIR、SEIR、SEQPIJR等类模型。
这些模型基本思路相同,差异在于人口分类的多少,关键在于参数的确定。
例如最简单的模型为SIR模型为:
在模型中,S(t)是时刻t易感者的数量,它等于总人口减去患者和恢复者的数量,I(t)是时刻t患者的数量,R(t)是时刻t恢复者的数量,)(tS是单位时间内每个患者感染的人数,是患者的恢复率,是患者的死亡率。
由于隔离等控制措施的不断加强和治疗情况的变化,,,也是随时间而变化的;另外,由于易感者的数量特别大,可以近似看作常数,且将常数合并到中去。
在实际应用中,我们最关心的是感染者数量的变化。
取时间单位为天,将模型中的第2个方程离散化得递推关系为在离散化的模型中,的含义是每天每个感染者传染的人数,是一个十分重要的参数,其确定的原则是当天新增病人人数除以当天感染者人数,再进行曲线拟合即可。
和患者每天治愈和死亡所占的比例,可以一起确定。
其方法是当天感染治愈和死亡人数除以当天感染人数,再进行曲线拟合即可。
例如,利用卫生部公布的4月20日至5月15日全国的数据进行计算,可以得到随时间变化的关系,如图中折线所示,用指数曲线对其进行回归拟合,得到的表达式,其曲线如图中的光滑曲线所示同理得到+的表达式,将这些函数代入递推关系式得到每天的SARS感染人数。
从图中可以看出,这个非常简单的模型、参数确定方法所预测的结果与实际的统计值比较一致。
为了进一步检验模型和参数确定方法的合理性,我们分别利用北京、山西、内蒙、广州等地的数据替换全国的数据,进行同样的计算、预测和对比,发现结果都比较符合。
注意在这样的简单预测中仅用了25天的数据对模型中的参数进行估计和曲线拟合,从5月15日以后的预测值比实际统计值小,这是由于我国政府不断地加强隔离控制措施和改善治疗效果,这些因素在5月25日之前的数据中反映的不够。
在实际应用中不断增加和更新数据进行短期的预测,预测的误差就会减少。
二、评审要求这道赛题后来全国组委会只给了评阅的要点供给各赛区参考,并且着重对题的第二、第三问提出一些要求,包括以下几个方面:1、学生答卷中应包含对传播机理和传播状况的叙述如传播途径、传播方式、潜伏期和传播地区等,并且给出建模原理、方法、思路或框图。
2、模型中的人口至少有类易感者、患者和恢复与死亡者,仔细一些的可以再加人潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人,治愈者和留观者等,要弄清楚他们之间的关系。
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