精品解析：山东省济南市莱芜第一中学2023-2024学年高二上学期第三次核心素养测试数学试题（原卷版）.docxVIP

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莱芜一中六十三级高二上学期核心素养测评

数学试题

2024年1月

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线的渐近线方程是

A. B.

C. D.

2.直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则（）

A. B.1 C.2 D.3

3.等比数列中，若，，则（）

A.9 B. C. D.27

4.直线l：的一个方向向量为（）

A B. C. D.

5.如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.1 B. C. D.

6.已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（）

A. B. C. D.

7.一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（）

A. B.

C. D.

8.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（）

A.28 B.29 C.30 D.31

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知曲线：，则（）

A.若，则曲线是圆 B.若，，则曲线是椭圆

C.若，则曲线是双曲线 D.若，，则曲线是一条直线

10.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（）

A.是等差数列

B.当或时，取得最大值

C.数列的前10项和是30

D.，，成等差数列，公差为

11.已知点在圆：上，点，，则（）

A.点到直线距离的取值范围是

B.存在2个点，使得

C.当最小时，

D.当最大时，

12.已知正方体的棱长为1，为线段上任意一点，下列说法正确的是（）

A.

B.动点到线段的距离可以是

C.是中点时，直线与平面所成的角的正弦值是

D.三棱锥体积最大时，若点满足，其中，则最小值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线：与：平行，则它们之间的距离为______.

14.如图，平行六面体各条棱长均为2，，，则线段的长度为______.

15.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，这是一种分形图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体做法是：取一个实心等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四小三角形，去掉中间的那一个小三角形，对其余三个小三角形重复上述步骤……已知最初等边三角形的面积为1，则经过5次操作之后得到的图形中的阴影部分面积为______.

16.已知双曲线的两个焦点分别为，，，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的离心率是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：.

18.已知方程，.

（1）若此方程表示圆，求的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线相交于，两点，且（为圆心），求的值.

19已知数列满足，，.

（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

20.如图，在直三棱柱中，，，点在线段上.

（1）当时，求线段的中点到平面的距离；

（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由

21.已知抛物线：.

（1）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；

（2）直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.

22.已知椭圆：过点，且的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围；

（3）若斜率为直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值.