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浙江省龙游中学2024届高三数学高考真题练习
真题真心练练出真水平!PAGE1高三数学备课组
全国卷高考真题练习之一:数列北京卷(解析版)
一、单选题
1.(2023·北京·统考高考真题)已知数列满足,则(????)
A.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立
B.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立
C.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立
D.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立
解析:B构造,利用导数求得的正负情况,再利用数学归纳法判断得各选项所在区间,从而判断的单调性;对于A,构造,判断得,进而取推得不恒成立;对于B,证明所在区间同时证得后续结论;对于C,记,取推得不恒成立;对于D,构造,判断得,进而取推得不恒成立.
2.(2022·北京·统考高考真题)设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:C设等差数列的公差为,则,记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列,则,
若,则当时,;若,则,
由可得,取,则当时,,
所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”;
若存在正整数,当时,,取且,,
假设,令可得,且,
当时,,与题设矛盾,假设不成立,则,即数列是递增数列.
所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”.
所以,“是递增数列”是“存在正整数,当时,”的充分必要条件.
3.(2020·北京·统考高考真题)在等差数列中,,.记,则数列(????).
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
解析:B由题意可知,等差数列的公差,
则其通项公式为:,
注意到,
且由可知,
由可知数列不存在最小项,
由于,
故数列中的正项只有有限项:,.
故数列中存在最大项,且最大项为.
二、填空题
4.(2022·北京·统考高考真题)已知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3;???②为等比数列;
③为递减数列;???????④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是.
【详解】①③④由题意可知,,,
当时,,可得;
当时,由可得,两式作差可得,
所以,,则,整理可得,
因为,解得,①对;
假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,
所以,,可得,解得,不合乎题意,
故数列不是等比数列,②错;
当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;
假设对任意的,,则,
所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.
故答案为:①③④.
三、双空题
5.(2023·北京·统考高考真题)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,则;数列所有项的和为.
解:设前3项的公差为,后7项公比为,
则,且,可得,
则,即,可得,
空1:可得,
空2:
四、解答题
6.(2023·北京·统考高考真题)已知数列的项数均为m,且的前n项和分别为,并规定.对于,定义,其中,表示数集M中最大的数.
(1)若,求的值;
(2)若,且,求;
(3)证明:存在,满足使得.
【详解】(1)由题意可知:,
当时,则,故;
当时,则,故;
当时,则故;
当时,则,故;
综上所述:,,,.
(2)由题意可知:,且,
因为,且,则对任意恒成立,所以,
又因为,则,即,
可得,
反证:假设满足的最小正整数为,
当时,则;当时,则,
则,
又因为,则,
假设不成立,故,
即数列是以首项为1,公差为1的等差数列,所以.
(3)因为均为正整数,则均为递增数列,
(ⅰ)若,则可取,满足使得;
(ⅱ)若,则,
构建,由题意可得:,且为整数,
反证,假设存在正整数,使得,
则,可得,
这与相矛盾,故对任意,均有.
①若存在正整数,使得,即,可取,
满足,使得;
②若不存在正整数,使得,因为,且,
所以必存在,使得,即,可得,
可取,满足,使得;
(ⅲ)若,
定义,则,
构建,由题意可得:,且为整数,
反证,假设存在正整数,使得,
则,可得,
这与相矛盾,故对任意,均有.
①若存在正整数,使得,即,可取,
即满足,使得;
②若不存在正整数,使得,因为,且,
所以必存在,使得,
即,可得,可取,
满足,使得.
综上所述:存在使得.
7.(2022·北京·统考高考真题)已知为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,使得,则称Q为连续可表数列.
(1)
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