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统计在生活中的应用的几类问题

统计是中学数学的重要内容，它在生活中具有广泛地的应用；下面我们就常见的几类应用问题进行分析.

一、人数的分配问题

例1、某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占，中年人占，老年人占.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占，中年人占，老年人占.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定

〔1〕游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

〔2〕游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

分析：本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力.

可先设出登山组人数为，那么游泳组人数为；设游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例分别为、、，那么据参加活动的职工中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例，可列出关于的等式.从而可求出游泳组中，三类人分别占的比例.

解：〔1〕设登山组人数为，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为、、，那么有，，解得，.

故，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为、、.

〔2〕游泳组中，抽取的青年人数为〔人〕；抽取的中年人数为〔人〕；抽取的老年人数为〔人〕.

点评：人数的分配问题实际上就是利用系统抽样、分层抽样的方式对样品进行数量上的分配.

二、图形的解读问题

例2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查

了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布

直方图〔如右图〕．为了分析居民的收入与年龄、学

历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分

层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在

〔元〕月收入段应抽出人．

分析：先根据频率分布直方图求出〔元〕月收入段的总人数；再根据分层抽样

的比例关系求出样本中的该收入段的人数．

解:由直方图可得〔元〕月收入段共有人；

按分层抽样应抽出人．

点评：在频率分布直方图中，小矩形的面积表示频率，千万不要误以为纵坐标的值表示频率．

例3、下列图是一次考试结果的频率分布直方图，那么据此估计这次考试的平均分为__________．

频率/组距

0.04

0.02

0.01

0分数

5060708090100

分析：求这次考试的平均分，可以先把每一段上的平均分和频率都求出来，假设数据分布在段上，那么．

解：

=，所以这次考试的平均分为75．

点评：图形是文字的一种直观和形象的表示方式，一幅图胜过一千个字．看懂图是21世纪的成年人所必须具备的能力，我们要学会从图形中提取信息和传递信息．图形的解读类问题势必将越来越多的出现在高考试题中．

三、人才的选拔和产品的评价问题

例4、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：

甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110

〔1〕这种抽样方法是哪一种？

〔2〕假设从甲、乙两个车间中选一个车间进行同行业的包装比赛，应该选择哪一个车间呢？请说明理由．

分析：平均数代表总体水平的上下，方差或标准差代表数据的分散程度的大小〔即稳定性〕；我们在比拟两种产品的优劣时，评价指标通常有两个：平均数和方差〔或标准差〕．通常要先比拟平均数，在平均数差不多的情况下，再比拟方差或标准差．

解：〔1〕系统抽样．

〔2〕，

=；

，

=；

因此，，；所以乙车间包装肥料完成的更好；所以要选乙车间进行包装比赛．

四、调查敏感性问题

例5、某工商部门为了调查某地区个体户的偷税漏税现象，假设这些个体户均只有一个孩子；随机抽出的一百名个体户进行了调查．调查中用了两个问题：

问题1：你的孩子是男孩吗?

问题2：你是否有过偷税漏税现象？

调查者准备了一个装满规格、个数均相同的红球和黑球的箱子．每个调查者随机从箱子中摸出一球〔看后再放回箱子，其他人看不到球的颜色〕，摸到红球的如实答复第一个问题，摸到黑球的如实答复第二个问题．最后的结果是30人答复了“是”，70人答复了“否”；请你估计一下该地区个体户的偷税漏税现象的比例．

分析：设置问题1这个看似无关紧要的问题是实质是让个体户放下戒备之心，能真实答复下列问题，使得调查能够得出较为准确地出结论．

解：由题意，每个个体户摸到红球和黑球的概率相同，即大约有50人答复了第一个问题，另50人答复了第二个问题．在答复第一个问题的情况下，答复“是”的概率是0.5，因此大约