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第九章

多元函数微法

及其应用

目的要求

主要内容

四、多元函数的连续性;

一、平面点集;

二、多元函数的概念;

三、多元函数的极限;

第一节多元函数基本概念

了解多元函数基本概念，会求函数的定义域，会求简单的多元函数的极限，知道极限不存在的说明方法

五、闭区域上连续函数的性质

回忆一维空间中点的邻域概念

利用“点”将邻域概念推广到高维空间

(

)

.

一、平面点集

(

)

.

回忆一维空间中点的邻域概念

利用“点”将邻域概念推广到高维空间

O

x

y

.

开圆盘

开球体

O

x

y

z

.

集合的内点、外点、边界点

E

边界点

外点

内点

·

·

·

其内既有E

的点也有不属于E的点

边界点不一定属于集合！E的边界点的全体称为E的边界

聚点

总有E中的点

开集

由内点构成的集合！

连通集

单连通集

复连通集

分为

集合的连通性

单连通

复连通

E

E

.

.

.

.

不连通

E

.

.

区域

区域是连通开集.

区域与其全部边界点的并集,称为闭区域.

例如

例如

有界集

y

x

O

E

k

E

O

中的有界集

2

R

有界闭区域

E

无界集

无界开区域．

1、二元函数的定义

类似地可定义三元及三元以上函数．

二、多元函数概念

解

所求定义域为

例1

2.二元函数的图形

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如：

图形如右图.

例如：

左图球面.

单值分支:

三、多元函数的极限

当点P无限趋于P0时，函数f(x,y)无限趋于常数A

二元函数极限的定义

则称A为函数

说明：

（1）定义中的方式是任意的；

（2）二元函数的极限也叫二重极限

（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

求极限

解

例2

等价无穷小替代

证

取

其值随k的不同而变化，

故极限不存在．

想一下:若沿着x轴(或y轴)趋于原点时会怎么样?

是否说明此极限存在??

例3

确定极限不存在的方法：

四.多元函数的连续性

定义（二元函数的情况）

寻找间断点的方法

与一元函数的情况类似

函数无定义的点;

极限存在但不等于函数在该点的函数值的点等等.

例如：

极限不存在的点;

由分母不能为零,

的一切点均为函

数的间断点.

O

x

y

例4

解

直线

上

多元函数间断点情形比较复杂

多元函数的间断点可以构成一些直线、

曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.

由三角函数知识可知,

所求间断点为

O

x

y

同心圆

例5

解

讨论函数

在(0,0)的连续性．

解

取

其值随k的不同而变化，

极限不存在．

故函数在(0,0)处不连续．

例6

多元初等函数

次的四则运算和复合运算得到。

能用一个算式表示的多元函数，这个算式由常量

及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限

例如：

解

例7

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．

（2）最大值和最小值定理

（3）介值定理

五、闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．

（1）

小结

2.多元函数极限的概念（求极限）

3.多元函数连续的概念

4.闭区域上连续函数的性质

（注意趋近方式的任意性）

1.多元函数的定义（定义域）

化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，无穷小的性质，重要极限，代入法

P623，5（偶）6（奇），7，8；

思考题

思考题解答

不能.

例

取

但是不存在.

原因为若取

【例2】方程组表示怎样的曲线？

【解】

上半球面,

圆柱面,

交线如图.

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