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4.3正交矩阵及其性质

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2024/8/20

定义6设A為n阶方阵,假如ATA=I或AAT=I,

定义设為阶方阵假如或

6An,ATA=IAAT=I,

就

就

称A為正交矩阵.(A-1=AT)

称為正交矩阵

A.(A-1=AT)

定理4A為n阶正交矩阵的充足必要条件是A

定理為阶正交矩阵的充足必要条件是

4AnA

的列（行）向量组為Rn的壹组原则正交基.

的列（行）向量组為的壹组原则正交基

Rn.

证设

证设

按列分块為[a1,a2,...,an],

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2024/8/20

于是

于是

因此ATA=I的充足必要条件是

此定理可作為鉴定正交矩阵的壹种措施

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2024/8/20

定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则:

定理设皆是阶正交矩阵则

5A,Bn,:

(i)detA=1或-1;

(i)detA=1或-1;

(ii)A-1=AT（充要条件）;

（充要条件）

(ii)A-1=AT;

(iii)AT(即A-1)也是正交矩阵;

即也是正交矩阵

(iii)AT(A-1);

(iv)AB也是正交矩阵.

(iv)AB也是正交矩阵.

证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,因此成立,

证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,因此成立,

(ii)ATA=I,當然就是A-1=AT,

(ii)ATA=I,當然就是A-1=AT,

(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,因此AT(即A-

因此即

(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,AT(A-

1)也是正交矩阵,從而A的行向量组也是Rn的壹

也是正交矩阵從而的行向量组也是的壹

1),AR