可交换则5linear-sys5线性系统.pptxVIP

6)A(t)与可交换,则证明:由矩阵指数的定义,有而

如果A(t)与可交换,则上式成为又因为由解的存在唯一性定理得到

下面讨论状态方程的解.以左乘上式的两边得得到

将上式从t0到t积分并考虑到初始条件得到再由转移矩阵的性质得到注1:方程的解由两部分组成:前一项为初始状态引起的响应,第二项为输入x0控制作用u(t)引起的响应.

注2:是齐次方程的解,称为零输入状态响应.若x0=0,则有上式称为零状态响应.由方程的解,易得系统输出为

上式是控制作用u(.)和初始条件引起的输出.现在讨论一个特殊情形,即假定初始条件x0=0,u(t)为单位脉冲函数:?为脉冲出现的时刻.则此时系统的输出为

当t?时,因为输入为零,初始条件为零,所以y(t)=0.hi(t,?)是一个p?1向量,它表达了系统输出y(.)对输入u(.)第i个分量为单位脉冲?(.-?)时的响应.当t?时,H(t,?)=0.我们称H(t,?)为脉冲响应阵.

1.4.2线性系统能控性,能观测性一般理论定义1.4.2设函数f1(t),…,fn(t)定义在[t1,t2]上,若存在不全为零的数a1,…,an?C(C是数域)使得a1f1(t)+a2f2(t)+…+anfn(t)=0,?t?[t1,t2]则称在数域C上,f1(t),…,fn(t)在区间[t1,t2]上线性相关,否则就说它们线性无关.注1:线性相关与区间[t1,t2]有关,例如则在[0,1]上,f1,f2线性相关,因为,只要取a1=1,a2=-1,就有a1f1(t)+a2f2(t)=0,t?[0,1].

可以验证,在[-1,0]上,f1,f2也线性相关.但在[-1,1]上,f1,f2线性无关.反证,若在[-1,1]上,f1,f2也线性相关,则存在a1,a2使得a1f1(t)+a2f2(t)=0,t?[-1,1],则t=1时,a1+a2=0,t=-1时,-a1+a2=0,因此,a1=a2=0.故,在[-1,1]上,f1,f2线性无关.注2:一组函数在某区间上线性无关,但在子区间上可能线性相关.

注3:如果在一个子区间上函数线性无关,那么在任何含有该子区间的区间上,函数组都线性无关.以上定义可以推广到向量值函数fi(t),i=n的情形.即若有不全为零的数a1,…,an?C(C是数域)使得a1f1(t)+a2f2(t)+…+anfn(t)=0,?t?[t1,t2]则称向量值函数f1(t),…,fn(t)在区间[t1,t2]上线性相关,否则称为线性无关.

引理1.4.1一组1?m向量值函数f1(t),…,fn(t)在区间[t1,t2]上有定义并有直到n-1阶的连续导数,令若在[t1,t2]上存在t0使得的秩为n,则在[t1,t2]上向量组{fi(t),i=1…,n}线性无关.

证明:(反证法)若?t0?[t1,t2],使得的秩为n,但仍有{fi(t),i=1…,n}在[t1,t2]上线性相关,即存在a1?n?0使得aF(t)=0,?t?[t1,t2],这意味着aF(k)(t)=0,?t?[t1,t2],k=1,2,…,n-1?a[F(t)|F(1)(t)|….|F(n)(t)]=0,?t?[t1,t2],特别有a[F(t0)|F(1)(t0)|….|F(n)(t0)]=0

这表明[F(t0)|F(1)(t0)|….|F(n)(t0)]的行线性相关,与题设矛盾.因此向量组在[t1,t2]上线性无关.例:设有定义在[-1,1]上的函数:f1(t)=t3,f2(t)=|t3|,它们在[-1,1]上线性无关.但

引理1.4.2设向量组在{fi(t),i=1…,n}在[t1,t2]上解析,则{fi(t),i=1…,n}在[t1,t2]上线性无关?证明:充分性与引理1.4.1相同.(解析函数的性质).设f(.)是定义在实数域上某开区间D上的函数,具有任意阶导数,且对D中每一点t0存在?0使对于(t0-?,t0+?)内所有t可用该点的Tailor级数表示为

则称f(.)为解析函数.仅有各阶导数存在并不能保证解析;例如在t=0处存在各阶导数,但在t=0处不解析.已知函数在D上解析,但D中某一点处函数的所有导数为已知时,该函数就能由该点完全确定.事实上,设在t0处,f的值及其各阶导数已知,则根据(*)式可计算区域(t0-?,t0+