十类球体的应用与解题技巧+讲义-2024届高三数学二轮专题复习.docx

十类球体的应用与解题技巧

一、特殊几何体外接球

常见题型

对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.

知识迁移球的表面积：S=4πR2球的体积：V=

底面外接圆的半径r的求法

(1)正弦定理asin

(2)直角三角形：半径等于斜边的一半

(3)等边三角形：半径等于三分之二高

(4)长(正)方形：半径等于对角线的一半

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则：2R=

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

正棱锥类型

??R2+r2=R2,

例若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.12πB.24πC.36πD.144π

点拨

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R=

所以，这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.

例长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是()

A.202π

点拨

球的直径是长方体的体对角线，所以2R2=32+42+52=50,解得R=52

例正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()

A.81π4B.16πC.9π

点拨

正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO?上，记为O，

PO=AO=R,PO?=4,OO?=4-R,

在Rt△AOO?中,.A

由勾股定理R2=2+4?R2得R=9

练习设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()

A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2

练习设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()

A.πa2B.73πa

练习如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP?ABCD=16

A.4πB.8πC.12πD.16π

练习已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长3

练习棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

练习若一个底面边长为32,侧棱长6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，此球的体积为

练习已知正四棱台的高为1，下底面边长为22

A.32π3B.205

二墙角问题

常见题型

墙角模型(三条直线两两垂直)可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.

知识迁移墙角模型(三条直线两两垂直)

补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=

例已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,BC⊥CD,AC⊥平面BCD,且AC=22,BC=CD=2,则球O的表面

A.4πB.8πC.16πD.2

点拨

由题意可知CA，CB，CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，2R2=2

练习在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=42,AB=AC=4，∠CAB=90°,则三棱锥

P-ABC外接球的表面积为()

A.32πB.48πC.64πD.128π

练习在三棱锥P-ABC中,PA、AB、AC两两垂直,AP=3,BC=4,则三棱锥外接球的表面积为()

A.12πB.20πC.25πD.36π

练习三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、3

A.23πB.823

三对棱相等问题

对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.

知识迁移

推导过程：通过对棱相等，可以将其补全为长方体，补全的长方体体对角线