考点 利用导数研究函数的单调性7类常见考点全归纳（精选112题）（解析版）-备战2025年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用.docx

考点16利用导数研究函数的单调性7类常见考点全归纳（精选112题）

高频考点

考点一利用导数求函数的单调区间（不含参）

考点二含参数的函数的单调性

（一）导主一次型

（二）导主二次型

（1）可因式分解型

（2）不可因式分解型

（三）导主指数型

（四）导主对数型

考点三分段分析法讨论求单调区间

考点四比较大小

考点五解抽象不等式

考点六已知函数的单调性求参数的取值范围

（一）在区间上单调递增（减）

（二）在区间上单调

（三）单调区间是

（四）存在单调区间

（五）在区间上不单调

（六）由单调区间个数求参数

（七）综合应用

考点七函数图象与导数图象的应用

（一）由导函数图象确定原函数单调性

（二）由导函数图象确定原函数图象

（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象

（四）原函数图象与导函数图象混合

知识点1函数的单调性

1．设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)0，则f(x)为增函数，若f′(x)0，则f(x)为减函数．

2．求可导函数f(x)单调区间的步骤：

(1)确定f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)令f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围；

(4)当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．

归纳拓展

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解．

1.函数的单调性与导数的关系

一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减.

2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.

注：确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域.第二步，求f′(x).第三步，解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.注意函数间断点.

3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．

4.讨论单调区间问题

（1）不含参数单调性讨论

①求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

②变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

③求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；

④未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

⑤正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

⑥一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

⑦借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

(2)含参数单调性讨论

①求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；

②变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

③恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

④根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

⑤导数图像定区间；

5.函数图象与导数图象

一般地，设函数y＝f(x)，在区