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统计学一元线性回归分析练习题

一、内容提要

本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，

本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本

回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。总

体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模

型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现

实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并

用它对总体回归函数做出统计推断。

本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主

要涉及到普通最小二乘法的学习与掌握。同时，也介绍了极

大似然估计法以及矩估计法。

本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回

归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。统计检验包

括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优

度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”

程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释

变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完

成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，

通过参数估计值的“区间检验”完成。

本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假

设。样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质

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的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之

上的。其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质

与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样

本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明

OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函

数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及

预测置信区间的计算及其变化特征。

二、典型例题分析

例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ

表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回

归模型为

kids??0??1educ??

随机扰动项?包含什么样的因素？它们可能与教育水平

相关吗？

上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件

不变下的影响吗？请解释。解答：

收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响

生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含

在了随机扰动项之中。有些因素可能与增长率水平相关，如

收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈

负相关等。

当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教

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育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育

率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机

扰动项相关的情形，基本假设4不满足。

例2．已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一

名新员工的起始薪金，N为所受教育水平。随机扰动项?的分

布未知，其他所有假设都满足。

从直观及经济角度解释?和?。

?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。?

和?OLS估计量?

对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。解

答：

???N为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。