考研线性代数计算与证明题(1987.doc

1.(1987—Ⅰ，Ⅱ)问为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解.

2.(1987—Ⅱ；1990—Ⅳ)设为阶矩阵，和是的两个不同的特征值；是分别属于和的特征向量，试证明不是的特征向量.

3.(1987—Ⅳ，Ⅴ)设矩阵和满足关系式，其中，求矩阵.

4.(1987—Ⅳ，Ⅴ)解线性方程组

5.(1987—Ⅳ，Ⅴ)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.

6.(1988—Ⅰ，Ⅱ)，其中

，

求及.

7.(1988—Ⅰ，Ⅱ)矩阵与相似：

(1)求与；〔2〕求一个满足的可逆矩阵.

8.(1988—Ⅳ)设3阶方阵的伴随矩阵为，且，求.

9.(1988—Ⅳ，Ⅴ)设向量组线性无关，且

，

讨论向量组的线性相关性.

10.(1988—Ⅳ，Ⅴ)设线性方程组为，问与各取何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？有无穷多解时，求其一般解.

11.(1988—Ⅴ)阶方阵满足矩阵方程.证明可逆，并求出其逆矩阵.

12.(1989—Ⅰ，Ⅱ)问为何值时，线性方程组

有解，并求出解的一般形式.

13.(1989—Ⅰ，Ⅱ)假设为阶可逆矩阵的一个特征值，证明：

(1)为的特征值；(2)为的伴随矩阵的特征值.

14.(1989—Ⅳ，Ⅴ)，其中，求矩阵.

15.(1989—Ⅳ)设.

〔1〕问当为何值时，向量组线性无关？

〔2〕问当为何值时，向量组线性相关？

〔3〕当向量组线性相关时，将表示为和的线性组合.

16.(1989—Ⅳ，Ⅴ)设.

〔1〕试求矩阵的特征值；

〔2〕利用〔1〕的结果，求矩阵的特征值，其中是三阶单位矩阵.

17.(1989—Ⅴ)讨论向量组的线性相关性.

18.(1990—Ⅰ，Ⅱ)设四阶矩阵

且矩阵满足关系式

，

其中为四阶单位矩阵，表示的逆矩阵，表示的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵.

19.(1990—Ⅰ，Ⅱ)求一个正交变换化二次型

成标准形.

20.(1990—Ⅳ，Ⅴ)线性方程组

〔1〕为何值时，方程组有解？

〔2〕方程组有解时，求出方程组的导出组的一个根底解系；

〔3〕方程组有解时，求出方程组的全部解.

21.(1990—Ⅳ)对于阶方阵，存在自然数，使得.试证明矩阵可逆，并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).

22.(1990—Ⅴ)设为矩阵

计算行列式，其中为10阶单位矩阵，为常数.

23.(1990—Ⅴ)设方阵满足条件，其中是的转置矩阵，的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

24.(1991—Ⅰ，Ⅱ)

，及.

〔1〕为何值时，不能表示成的线性组合？

〔2〕为何值时，有的唯一的线性表示式？并写出该表示式.

25.(1991—Ⅰ，Ⅱ)设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵，证明的行列式大于1.

26.(1991—Ⅳ，Ⅴ)设有三维列向量

，

问取何值时：

〔1〕可由线性表示，且表达式惟一；

〔2〕可由线性表示，且表达式不惟一；

〔3〕不能由线性表示.

27.(1991—Ⅳ)考虑二次型

问取何值时，为正定二次型？

28.(1991—Ⅳ)试证明维列向量线性无关的充分必要条件是

，

其中表示列向量的转置，.

29.(1991—Ⅴ)设阶矩阵和满足条件.

(1)证明为可逆矩阵；(2)，求矩阵.

30.(1991—Ⅴ)向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值.

31.(1992—Ⅰ，Ⅱ)设向量组线性相关，向量组线性无关，问：

〔1〕能否由..线性表出？证明你的结论.

〔2〕能否由线性表出？证明你的结论.

32.(1992—Ⅰ，Ⅱ)设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量依次为

，又向量.

〔1〕将用线性表出；〔2〕求(为自然数).

33.(1992—Ⅱ)设为3阶矩阵，为三阶单位矩阵，满足，又知

，

求矩阵.

34.(1992—Ⅳ)设矩阵与相似，其中

.

(1)求和的值；(2)求可逆矩阵，使.

35.(1992—Ⅳ)三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的解：

(1)求的值；(2)证明.

36.(1992—Ⅳ)设分别为阶正定矩阵，试判定分块矩阵是否是正定矩阵.

37.(1992—Ⅴ)设矩阵，矩阵满足，其中.

38.(1992—Ⅴ)设线性方程组

的系数矩阵为，三阶矩阵，且.试求的值.

39.(1992—Ⅴ)实矩阵满足条件：(1)()，其中是的代数余子式；(2).计算行列式.

40.(1993—Ⅰ，Ⅱ)二次型

，

通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换矩阵.

41.(1993—Ⅰ，Ⅱ)设是矩阵，是矩阵，其中，是，证明的列向量组线性无关.

42.(1993—Ⅱ)的两个基为

与，

求由基到基的过渡矩阵.

43.(1993—Ⅳ)为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解？在有