解三角形解答题分类拓展训练(解析版)——2025届高三数学一轮复习.docx

解三角形拓展：

三角形中线，角平分线问题、最值、取值范围问题

一、必备知识分层透析

一、三角形中线问题以及定比分点线段长

方法1、向量法

如图在中，为的中点，

如果不是中点，是几等分点也可以用此法，结合定比分点公式。

方法2、角互补

在中有：;

在中有：

二、角平分线

如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，

方法1：内角平分线定理：

或

方法2：等面积法(使用频率最高）

方法3：边与面积的比值：（这个结论也可以结合定比分点公式应用）

二、重点题型分类研究

题型1:向量化法、角互补法

题型2：三角形角平分线（比例法）

题型3：三角形角平分线（等面积法）

题型4：边长周长面积最值问题

一般考虑结合基本不等式，也可以考虑函数化。有时可以构造隐圆。

题型5：边长周长面积取值范围问题

一般考虑三角函数化，有时可以构造隐圆。

题型1:三角形中线问题（向量化法和角互补法）

例题1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且

(1)求角的大小；

(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

（1）因为，所以，

即，

又因，所以

又由题意可知，

所以，因为，所以.

（2）

由余弦定理可得，

又，

则

，

由正弦定理可得，所以，

，

所以

，由题意得，解得，

则，

所以所以

所以所以中线CD长的取值范围为

例题2．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．

在中，角，，的对边分别为，，，______．

(1)求角；

(2)若，，求的边上的中线的长．

【答案】(1)

(2)

(1)解：（1）若选①，即，得，

，或（舍去），

，；

若选②：，

由正弦定理，得，

，，，则，，；

(2)

解：是的边上的中线，，

，

，

．

例题3．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)求角；

(2)若边上的中线长为，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)

(1)因为，由正弦定理得，

所以，化简得，

因为，所以，因为,所以；

(2)

设中线交于，则，

由余弦定理得，即，

化简得，因为，所以，

所以.

题型2：三角形角平分线（比例法、等面积法）

例题1．在中，的角平分线与边相交于点，满足.

(1)求证：；

(2)若，求的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

解析：（1）证明：因为为的角平分线，故，

在中，由正弦定理可得：①，

在中，由正弦定理可得：②，

由①和②可得，

又，故，

可得：，即；

（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设.

在中，由余弦定理可得：，

即③，

在中，由余弦定理可得：，

即④，

由又，故，

由③和④可解得：，，

从而可得，，，

在中，由余弦定理得：，

又，故.

例题2．已知的内角的对边分别为，满足.

(1)求角；

(2)是的角平分线，若，的面积为，求的值.

【答案】(1)；

(2).

（1）由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，则；

（2）由面积公式得，解得，

又是的角平分线，则，故.

，则.

例题3．记的内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求；

(2)若，为方程的两个实数根，且的角平分线交于点，求．

【答案】(1)；

(2)2.

(1)依题意，，即，

在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，

因，解得，

所以．

(2)依题意，，，而是的角平分线，则，

即，整理得，解得，

所以．

例题4．已知中，角，，所对的边分别为，，，点在边上，为的角平分线．．

(1)求；

(2)若，求的大小．

【答案】(1)

(2)

（1），，即

由正弦定理可得

，

即

（2），即

设，则

，解得

例题5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．

(1)求及线段的长；

(2)求的面积．

【答案】(1)，BC＝6

(2)

(1)∵，∴，∴，∴

由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.

(2)∵，，∴，∴，

∵AE平分∠BAC，，

由正弦定理得：，

其中，∴，

∵AD为BC边的中线，∴，∴.

题型3：周长（边长）（最值问题）

例题1．的内角，，的对边分别为，，，.

(1)求；

(2)若，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）解：由题意有，

即有，

由正弦定理得：，

又，所以，则，所以；

（2）解：由（1）知，因为，且的面积为，

由得：，所以，

由余弦定理得：，所以，

所以的周长为.

例题2．在中，分别是角的对边，已知向量，设函数?.

(1)求的单调递增区间；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

（1）因为，

由?，得?，

所以?的单调增区间为.

（2）由?得?，故，

因为，所以?，故，得，

所以?，又，，

?，

又?，所以?，故?，

所以?最大值为?.

例题3．如图，在平面四边形中，．

(1)判断的形状并证明；

(2)若，