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蒙特卡罗方法初步—椭圆内均匀分布的抽

样技巧

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1996年12爆轰波与冲击波第4期

蒙特卡罗方法初步——

椭圆内均匀分布的抽样技巧

胡熙静刘桂贤

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A耍以简明通俗的语言.避开统计学中抽象的数学公式和符号,介绍了

作为计算数学一

十独立分支的蘩特卡罗方法的基本思想和概念,奠特卡罗方法在粒子

{宣运问题中的应用以爰

蒙特卡罗(MonteCarlo)是意大利的一个城市名,以赌博闻名于世界,可

以想象,蒙特

卡罗与赌博有某种相似之处.没有接触过蒙特卡罗方法的人,对它有一

种神秘感,其实它

的基本思想并不新颖.早在十七世纪,人们就知道用频数来决定概率的

方法.随着现代科

学技术的发展和电子计算机的发明,应用愈来愈广,方法本身也得到不

断的发展和完善.

成为计算数学的一个独立分支.

蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法.本文的目的是一般

介绍蒙特卡罗

方法的重要概念,基本思想,在粒子输运问题中的应用,常见的几种抽

佯方法.最后,我们

介绍在椭圆内均匀分布的一种效率较高的抽样技巧.

2蒙特卡罗方法的基本思想

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』蒙特卡罗方法的基本思想是,把所要求解的问题转换成某种事件出

现的概率,然后通

过对事件的模拟”试验”得到该事件出现的频率,并以此近似代替该事

件出现的概率,从而

获得问题的解.用统计学的语言来表述就是,把所求问题转换成某个随

机变量的期望值,

通过模拟”试验的方法,获得这个随机变量的平均值.

有一个大家都熟悉的饲子,一批产品的质量好坏用合格率来表示.合格

率P兰n/Ⅳ,

其中Ⅳ为随意确定的抽样数,n为合格数,近似号表示Ⅳ不可能等于全

部产品数.这里把

求解的问题(产品质量),转换为概率(合格率),通过抽样捡验的方法,求

得-/Ⅳ作为合格

率的近似值.再举一个例子:实验确定圆周率.设想地面上有一组平行

直线,相距为.

手里拿一根长为2f的针(lt;a),作Ⅳ次任意的投针试验,与平行线相交

者记为1,否则记

为0.这样得到针与平行线的相交概率P:/Ⅳ.从统计学的观点可以证明

Ⅲ此概率的正

确结果为21/~a甩P近似代替正确概率2Z/~a,就得到的值为

Ⅱ兰(2~/a)(Ⅳ)

这就是古典概率论中着名的蒲丰氏问题.

可以把蒙特卡罗方法归结为三个主要步骤:构造所求问题的概率;实现

从已知分布中

抽样;建立估计量.在上述的蒲丰氏问题中就是把求的问题转换为投针

相交率,进行投

爆轰波与冲击波1995年12月

针试验(抽样),求得相交概率的估计量.现在当然不会有人真正做这种

费事的投针试验.

在计算机上可以用蒙特卡罗方法进行模拟,做到投针次数雎非常大,就

获得非常精确的

Ⅱ值..

上述的例子属于本来不是随机性质的确定性闻蘧.这类伺题酌例子还

有计算定积分,

解线性方程组,偏微分方程的边值问题等.这类问题用蒙特卡罗方法时

须要事先构造一个

人为的概率过程.即将不具有随机性质的问题转换为随机性质的问题,

使它的某些参量正

好是所要求的同题的解.由于这类问题往往有其它方便的计算方法求

解.蒙特卡罗方法使

用不多.

实际问题中有一类本身具有随机性质,如粒子输运伺题.蒙特卡罗方法

的主要任务是

正确地模拟这个随机过程.随着计算机技术的飞速发展,在粒子输运领

域内,蒙特卡罗方

法得到广泛的应用.’

3粒子输运问题

在反应堆设计,核物理实验,辐射(中子或光子)屏蔽,皂子与物质相互作

用问题中,都_’●

涉及大量的中子,光子,电子的输运问题.这是蒙特卡罗方法应用的主

要领域.粒子在介质

中的作用过程本身具有随机性质.一个由源发出的粒子,在它的运动方

向上,在啷一点碰

撞是偶然的,但有一定的概率分布I与原子(或康子核)发生碰撞又有各

种概率不同的碰撞

类型涠撞后的能量和运动方向,遵从一定的

概率分布.粒子可能被介质吸收或从系统中

逃脱,这时粒子运动过程结束,否则继续下一

次类似的运动.一个粒子在介质中的运动情

况,可由它所经历的碰撞反映出来.所以只要

粒子与原子或核的碰撞规律在物理上是清楚

的,那么这种过程完全能够用蒙特卡罗方法

正确地模拟,然后对所求的物理量进行统计

平均,就求得问题的解.例如对于屏蔽问题,

把模拟粒子数记为Ⅳ,穿透屏蔽层的粒子效

记为n,则穿透率P兰/Ⅳ.蒙特卡罗方法计

算粒子输运问题的大致步骤如图1所示.

图t中:源分布抽样包括源粒子能