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解析几何:面积问题解答题专项训练
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解析几何:面积问题解答题专项训练
1.(23-24高二上·江苏泰州·期末)已知抛物线的焦点为F,A为抛物线上一点,延长交抛物线于点B,抛物线的准线与x轴的交点为K,,.
(1)求抛物线的方程;
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)解:由题知A为抛物线上一点,所以,
解得,故抛物线方程为;
(2)由(1)知,抛物线方程为,
所以F1,0,,,
所以,,即,
因为直线交抛物线另一点为,
记点横坐标为,点横坐标为,
联立,可得:,
所以,所以,
而点到直线的距离,
所以.
2.(23-24高二上·江苏盐城·期末)已知双曲线,焦点为,其中一条渐近线的倾斜角为,点M在双曲线上,且.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线交双曲线C于A,B两点,若的面积为,求实数m的值.
【答案】(1);
(2).
【详解】(1)由条件知,,故.
即双曲线标准方程为.
(2)设,O到直线l的距离为h,
联立得,
由,解得,
而又由,
故弦长,
解得,故.
3.(23-24高二下·江苏南京·期末)在直角坐标系中,动圆经过点且与直线相切,记动圆圆心的轨迹为曲线C.直线y=x+b(其中b为非零常数)与曲线C交于两点,设曲线C在点处的切线分别为和,已知和分别与轴交于点M,N.与的交点为T.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)求点T的横坐标;
(3)已知与面积之比为5,求实数b的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】(1)由题意分析可知C到点的距离等于C到与直线的距离,
故曲线C的轨迹为抛物线,且以为焦点,以为准线.
故曲线C的轨迹方程为.
(2)由得,设Ax1,x12,
联立直线和抛物线,消去y得,
则,,,得.
:y-x12=2x1
联立和,解得,,即.
故T点横坐标为.
(3):y-x12=2x1
:,令,得.
.
设AB中点为H点,,将带入得.
所以
,
所以.
已知且,解得或.
4.(23-24高二下·江苏连云港·期末)已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线交椭圆于两点,且(其中为坐标原点),求的面积
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)设椭圆的半焦距为,由得,,
过点,,又,
联立,解得,,,
所以椭圆方程为:.
(2)
由题意知,直线的斜率存在,设为,
又直线过点则直线的方程为,
设Mx1,y1,N
由,得,
,
又,有,即,
整理得,
所以,解得,满足,
又因为,点到直线的距离,
则,
即,
代入得,,
故的面积为.
5.(23-24高二下·江苏南京·期末)已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点且斜率为的直线交于另一点,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由题意得,解得,
所以椭圆的标准方程为:
(2)如图过点且斜率为的直线设为:化简即,
即,经过原点,由椭圆的对称性知道,关于原点对称,
则,,
由点到直线距离公式求得到的距离,
则,
故的面积为.
6.(23-24高二上·江苏宿迁·期末)已知双曲线:(,)的左、右顶点分别为,,右焦点到渐近线的距离为1,且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点的直线(直线的斜率不为0)与双曲线交于,两点,若,分别为直线,与轴的交点,记,的面积分别记为,,求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)设Fc,0,其中一条渐近线方程为,即,
则焦点到渐近线的距离,
又,则,则,
所以双曲线方程为;
(2)由(1)知,设直线,Ax1,y
联立,得,,
,,
直线的方程为,当时,,
直线的方程为,当时,,
即,,
如图可知,,
,
,
,
当,时,,,
所以,
即,
当时,,
所以.
7.(23-24高二上·江苏苏州·期末)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的长轴长是短轴长的2倍,焦距为.
(1)求的标准方程;
(2)若斜率为的直线(不过原点)交于,两点,点关于的对称点在上,求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由题意,所以,
又因为,所以,,
所以的标准方程为.
(2)设直线:(),,,.
将代入:中,化简整理得,
于是有
所以
,
因为点关于的对称点为,所以解得
即
因为在上,所以,解得.
又因为点到直线的距离,
所以由对称性得
第二问法2:设:,:,则,
,,解得,则
代入:,得:,则
,则
故.
8.(23-24高二上·江苏南京·期末)设,在平面直角坐标系中,已知双曲线的左焦点为,直线与双曲线的右支交于两点,与双曲线的渐近线交于两点.
(1)求的取值范围;
(2)记的面积为的面积为,求取值范围.
【答案】(1).
(2).
【详解】(1)由题设,联立方程组,可得,消去可得.
因为直线与双曲线的右支交于两点,
所以满足
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