特训13 数列 解答题（六大题型）（解析版）-2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理高分突破》（新高考专用）.docx

特训13数列解答题（六大题型）

对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．

数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．

(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．

(2)递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，转化为bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ?1－k?)))求解．

目录：

01：定义法求数列通项公式、前n项和

02：等差、等比数列的综合应用

03：由递推关系求递推公式

04：数列的综合应用

05：利用数列证明不等式

06：求参数范围

01：定义法求数列通项公式、前n项和

1．已知数列的前项和为，满足．

(1)求数列的通项公式及；

(2)若数列满足，求数列的前10项的和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由求出，由求得数列的递推关系得其为等比数列并得出公比，从而易得通项公式、前项和；

（2）根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和．

【解析】（1）由得：，即，

由得：，两式相减得：，

即，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以，则；

（2）由（1）知：，则，

所以

.

2．已知数列中，，.

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)求数列的前项和

【答案】(1)是等差数列，理由见解析

(2)

【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；

(2)结合（1）的结论得出，然后利用错位相减法即可求解.

【解析】（1）因为，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2）由（1）知：

数列的通项公式为：，

则，

①，

②，

①②得：

，

则.

3．已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的性质和等差数列的通项公式即可求解；

（2）根据数列的通项公式可以得出数列的前49项为正值，进而求解即可.

【解析】（1）因为，，成等比数列，所以，即.

设的公差为，因为，所以，即.

因为，所以，所以通项公式为.

（2）由（1）知.

设数列的前n项和为，则.

当时，；

当时，.

综上，.

4．已知数列满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，

（1）由等比数列求解，进而根据错位相减法即可求和.

【解析】（1）由得：

由知：

∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）方法一

由（1）得：，∴

∴??①

??②

②-①得：

∴．

方法二

由（1）得：，∴

∴??①

??②

①-②得：

∴．

5．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；

（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.

【解析】（1）由题意，

在等差数列中，设公差为,

由，得，则，

又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，

∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，

∴，，

∴数列的通项公式为：．

（2）由题意及（1）得，，

在数列中，，

在数列中，，

∴，

∴，

，

两式相减得

．

∴

02：等差、等比数列的综合应用

6．在数列中，，，且对任意的，都有.

(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；

（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再