常用均值不等式及证明证明.doc

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常用均值不等式与证明证明

概念：1、调和平均数调和平均数：

2、几何平均数：

3、算术平均数：

4、平方平均数：

这四种平均数满足

，当且仅当时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数函数(当时);(当时）（即则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn≤Gn≤An≤Qn

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

对实数a,b，有(当且仅当a=b时取“=”号)，

(2)对非负实数a,b，有，即

(3)对负实数a,b，有

(4)对实数a,b，有

(5)对非负实数a,b，有

(6)对实数a,b，有

(7)对实数a,b,c，有

(8)对实数a,b,c，有

(9)对非负数a,b，有

(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数、拉格朗日乘数法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0

,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

。那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，

则

设

用引理

。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点，

则有：

设，为上凸增函数所以，

即

在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）