七年级数学下册讲义（北师大版）第一章第06讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)（原卷版）.docx

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；

2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

知识点01平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

即(a+b)(a-b)=a2-b2

公式的几种变化：

①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2；

（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2

②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2

③指数变化：（a2+b2）(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=

④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)2-c2

⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a2+b2)=（a2-b2）(a2+b2)=（a2）2-（b2）2=

⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知识点02完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2

公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

公式的变化：

①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab

⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab

知识点03平方差和完全平方差区别

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

题型01判断是否可用平方差公式运算.

【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）

A． B．

C． D．

【变式训练】

1．下列能使用平方差公式的是（????）

A． B． C． D．

2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（????）

A． B．

C． D．

题型02运用平方差公式进行运算.

【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)．

【变式训练】

1．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)；(2)；

(3)；(4)．

2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：

(1)；(2)．

题型03利用平方差公式进行简便运算.

【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：

(1)(2)

【变式训练】

1．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)；(2)．

2．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)．

(2)．

(3)．

题型04平方差公式与几何图形.

【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．

(1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为．（用含有a、b的代数式表示）

(2)由（1）可以得到等式：．

(3)根据你得到的等式解决下列问题：

①计算：．

②若，求的值．

【变式训练】

1．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）【实践操作】

（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；

????

（2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______；

【应用探究】

（3）利用（）中验证的公式简便计算：；

（4）计算：．

2．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．

A．????????????B．????????C．

(2)请应用上面的公式完成下列各题：

①已知，，则______；

②计算：；

③计算：

题型05运用完全平方公式进行运算

【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算

(1)

(2)

【变式训练】

1．（2023上·八年级课时练习）计算