新高考数学一轮复习学案 第4章 §4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（含解析）.doc

§4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

1．简谐运动的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特征点

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径

微思考

1．如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ取哪些值？

提示2kπ＋π，k∈Z.

2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？

提示对称轴是直线x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)(k∈Z)，

对称中心是点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))(k∈Z)．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sineq\f(1,2)x.(×)

(2)将y＝sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象．(√)

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)

(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq\f(T,2).(√)

题组二教材改编

2．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为()

A．2,4π，eq\f(π,3) B．2，eq\f(1,4π)，eq\f(π,3)

C．2，eq\f(1,4π)，－eq\f(π,3) D．2,4π，－eq\f(π,3)

答案C

解析由题意知A＝2，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(1,4π)，初相为－eq\f(π,3).

3．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．

答案y＝sineq\f(1,2)x

解析根据函数图象变换法则可得．

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0φπ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

答案y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]

解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，

所以A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20，

又eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－6，所以ω＝eq\f(π,8).

又eq\f(π,8)×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0φπ，所以φ＝eq\f(3π,4)，

所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．

题组三易错自纠

5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．

答案eq\r(π2＋4)

解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为eq\r(π2＋4).

6．将曲线C1：y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))上的点向右平移eq\f(π,6)个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不